Question

如圖1，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上（不與點(diǎn)A，B重合），點(diǎn)F在BC邊上（不與點(diǎn)B，C重合）．
第一次操作：將線段EF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E落在正方形上時(shí)，記為點(diǎn)G；
第二次操作：將線段FG繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)F落在正方形上時(shí)，記為點(diǎn)H；
依次操作下去…
（1）圖2中的△EFD是經(jīng)過(guò)兩次操作后得到的，其形狀為　 　，求此時(shí)線段EF的長(zhǎng)；
（2）若經(jīng)過(guò)三次操作可得到四邊形EFGH．
①請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀為　 　，此時(shí)AE與BF的數(shù)量關(guān)系是　 　；
②以①中的結(jié)論為前提，設(shè)AE的長(zhǎng)為x，四邊形EFGH的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取值范圍；
（3）若經(jīng)過(guò)多次操作可得到首尾順次相接的多邊形，其最大邊數(shù)是多少？它可能是正多邊形嗎？如果是，請(qǐng)直接寫出其邊長(zhǎng)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）△DEF為等邊三角形，EF的長(zhǎng)為4﹣4．
（2）①四邊形EFGH的形狀為正方形，此時(shí)AE=BF．
②y=2x²﹣8x+16（0＜x＜4），y的取值范圍為：8≤y＜16．
（3）經(jīng)過(guò)多次操作可得到首尾順次相接的多邊形，其最大邊數(shù)是8，它可能為正多邊形，邊長(zhǎng)為4﹣4．

試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，易知△EFD是等邊三角形；利用等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理即求出EF的長(zhǎng)；
（2）①四邊形EFGH的四邊長(zhǎng)都相等，所以是正方形；利用三角形全等證明AE=BF；
②求出面積y的表達(dá)式，這是一個(gè)二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最值及y的取值范圍．
（3）如答圖2所示，經(jīng)過(guò)多次操作可得到首尾順次相接的多邊形，可能是正多邊形，最大邊數(shù)為8，邊長(zhǎng)為4﹣4
試題解析：（1）如題圖2，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知EF=DF=DE，則△DEF為等邊三角形．
在Rt△ADE與Rt△CDF中，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）
∴AE=CF．
設(shè)AE=CF=x，則BE=BF=4﹣x
∴△BEF為等腰直角三角形．
∴EF=BF=（4﹣x）．
∴DE=DF=EF=（4﹣x）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE²+AD²=DE²，即：x+4²=[（4﹣x]²，
解得：x₁=8﹣4，x₂=8+4（舍去）
∴EF=（4﹣x）=4﹣4．
DEF的形狀為等邊三角形，EF的長(zhǎng)為4﹣4．
（2）①四邊形EFGH的形狀為正方形，此時(shí)AE=BF．理由如下：
依題意畫出圖形，如答圖1所示：

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，EF=FG=GH=HE，∴四邊形EFGH的形狀為正方形．
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3．
∵∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠4．
∵EF=EH
∴△AEH≌△BFE（ASA）
∴AE=BF．
②利用①中結(jié)論，易證△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均為全等三角形，
∴BF=CG=DH=AE=x，AH=BE=CF=DG=4﹣x．
∴y=S_{正方形ABCD}﹣4S_△AEH=4×4﹣4×x（4﹣x）=2x²﹣8x+16．
∴y=2x²﹣8x+16（0＜x＜4）
∵y=2x²﹣8x+16=2（x﹣2）²+8，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y取得最小值8；當(dāng)x=0時(shí)，y=16，
∴y的取值范圍為：8≤y＜16．
（3）經(jīng)過(guò)多次操作可得到首尾順次相接的多邊形，其最大邊數(shù)是8，它可能為正多邊形，邊長(zhǎng)為4﹣4．
如答圖2所示，粗線部分是由線段EF經(jīng)過(guò)7次操作所形成的正八邊形．

設(shè)邊長(zhǎng)EF=FG=x，則BF=CG=x，
BC=BF+FG+CG=x+x+x=4，解得：x=4﹣4．