Question

【題目】如圖，已知，，，．是射線上的動點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），是線段的中點(diǎn)，連結(jié)，交線段于點(diǎn)，如果以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，則線段的長為________．

Answer 1

【答案】或

【解析】

如果△ADN和△BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因?yàn)?/span>AD∥BC，如果兩角相等，那么M與D重合，顯然不合題意．因此本題分①當(dāng)∠ADN=∠BME時(shí)和②當(dāng)∠AND=∠BEM時(shí)，兩種情況解答即可．

因?yàn)槿绻��?/span>ADN和△BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因?yàn)?/span>AD∥BC，如果兩角相等，那么M與D重合，顯然不合題意，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．

圖1，當(dāng)∠ADN=∠BEM時(shí)，那么∠ADB=∠BEM，∴tan∠ADB=tan∠BEM．

作DF⊥BE，垂足為F，可得四邊形ABFD為矩形，則AB=DF，設(shè)BE=x，

∵tan∠ADB= AB：AD，tan∠BEM =DF：FE，

∴AB：AD=DF：FE=AB：（BE-AD）．

即2：4=2：（x-4）．

解得x=8．

即BE=8．

②如圖2，當(dāng)∠ADB=∠BME，

而∠ADB=∠DBE，

∴∠DBE=∠BME，

∵∠E是公共角，

∴△BED∽△MEB，

∴，即BE2=DEEM，

∵M(jìn)是線段DE的中點(diǎn)，

∴EM=DE,

設(shè)BE=x，結(jié)合圖1，根據(jù)勾股定理可得：

∴= [22+（x-4）2]，

∴x1=2，x2=-10（舍去），

∴BE=2．

綜上，線段BE的長為8或2，

故答案為8或2．