Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（a，b）在第一象限．以P為圓心的圓經(jīng)過原點(diǎn)，與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．點(diǎn)Q是線段OA上的點(diǎn)（不與O，A重合），過點(diǎn)Q作PQ的垂線交⊙P于點(diǎn)B（m，n），其中m≥0．
（1）若b=5，則點(diǎn)A坐標(biāo)是

 

；
（2）在（1）的條件下，若OQ=8，求線段BQ的長(zhǎng)；
（3）若點(diǎn)P在函數(shù)y=x²（x＞0）的圖象上，且△BQP是等腰三角形．
①直接寫出實(shí)數(shù)a的取值范圍：

 

；
②在

1

2

，

6

4

，

10

這三個(gè)數(shù)中，線段PQ的長(zhǎng)度可以為

 

，并求出此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）過點(diǎn)P作PH⊥OA于點(diǎn)H，由垂徑定理可求出OA的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出A的坐標(biāo)；
（2）連接BP、OP，由已知條件易求QH，在Rt△QHP中，由勾股定理可得：PQ²=QH²+PH²=9+PH²，在RtPHO中，由勾股定理可得：PO²=OH²+PH²=25+PH²=BP²，
進(jìn)而在RtBQP中，BQ²=BP²-PQ²=（25+PH²）-（9+PH²）=16．所以BQ=4；
（3）①把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得到b=a²，進(jìn)而可求出a≥1；②在

1

2

，

6

4

，

10

這三個(gè)數(shù)中，線段PQ的長(zhǎng)度可以為

10

，作BM⊥y軸于點(diǎn)M，首先求出a=2，再求出MQ=PH=2，利用勾股定理可求出MB=QH=

PQ2-PH2

=

6

．所以可得：B₁（

6

，6+

6

），若點(diǎn)Q在OH上，再由拋物線對(duì)稱性可得B₂（

6

，2-

6

）綜上，當(dāng)PQ=

10

時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（

6

，6+

6

）或（

6

，2-

6

）．

解答：解：（1）過點(diǎn)P作PH⊥OA于點(diǎn)H，
∴OA=2OH，
∵b=5，
∴OH=5，
∴OA=10，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)是（0，10）．
故答案為：（0，10）．

（2）連接BP、OP．
∵b=5，PH⊥OA，
∴OH=AH=5．
∵OQ=8，
∴QH=OQ-OH=3．
在Rt△QHP中，PQ²=QH²+PH²=9+PH²，
在RtPHO中，PO²=OH²+PH²=25+PH²=BP²，
在RtBQP中，BQ²=BP²-PQ²=（25+PH²）-（9+PH²）=16．
∴BQ=4．
（3）①∵點(diǎn)P在函數(shù)y=x²（x＞0）的圖象上，
∴b=a²，
∴a≥1，
故答案為：a≥1；
②在

1

2

，

6

4

，

10

這三個(gè)數(shù)中，線段PQ的長(zhǎng)度可以為

10

，
理由如下：
∵△BQP是等腰直角三角形，PQ=

10

，
∴半徑BP=2

5

．
又∵P（a，a²），
∴OP²=a²+a⁴=（2

5

）²．
即a⁴+a²-20=0．
解得a=±2．
∵a＞0
∴a=2． 
∴P（2，4）．
如圖，作BM⊥y軸于點(diǎn)M，則△QBM≌△PQH．
∴MQ=PH=2，
∴MB=QH=

PQ2-PH2

=

6

．
∴B₁（

6

，6+

6

）． 
若點(diǎn)Q在OH上，由對(duì)稱性可得B₂（

6

，2-

6

）
綜上，當(dāng)PQ=

10

時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（

6

，6+

6

）或（

6

，2-

6

）．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、勾股定理的運(yùn)用，三角形全等、探究等腰三角形的構(gòu)成情況等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求極高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．