Question

如圖，在等邊三角形ABC中，BC=6cm．射線AG∥BC，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AG以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）連接EF，當(dāng)EF經(jīng)過AC邊的中點(diǎn)D時(shí)，求證：△ADE≌△CDF；
（2）填空：
①當(dāng)t為______s時(shí)，四邊形ACFE是菱形；
②當(dāng)t為______s時(shí)，以A、F、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形．

Answer 1

（1）證明：∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D為AC的中點(diǎn)，
∴AD=CD，
∵在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS）；

（2）解：①若四邊形ACFE是菱形，則有CF=AC=AE=6，
則此時(shí)的時(shí)間t=6÷1=6（s）；
②四邊形AFCE為直角梯形時(shí)，
（I）若CE⊥AG，則AE=3，BF=3×2=6，即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，不是直角梯形．
（II）若AF⊥BC，
∵△ABC為等邊三角形，
∴F為BC中點(diǎn)，即BF=3，
∴此時(shí)的時(shí)間為3÷2=1.5（s）；
分析：（1）由題意得到AD=CD，再由AG與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩對(duì)角相等，利用AAS即可得證；
（2）①若四邊形ACFE是菱形，則有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間即可；
②分兩種情況考慮：若CE⊥AG，此時(shí)四點(diǎn)構(gòu)成三角形，不是直角梯形；若AF⊥BC，求出BF的長(zhǎng)度及時(shí)間t的值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及直角梯形，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．