Question

平面上有四個(gè)點(diǎn)（沒(méi)有三點(diǎn)共線），以這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，其中銳角三角形最多有（　�。﹤�(gè)．

• A、3
• B、2
• C、1
• D、0

Answer 1

考點(diǎn)：三角形邊角關(guān)系

專題：

分析：平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)（沒(méi)有三點(diǎn)共線）可以組成4個(gè)三角形．假設(shè)以每三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形都是銳角三角形，記四個(gè)點(diǎn)為A、B、C、D，考慮點(diǎn)D在△ABC之內(nèi)與之外這兩種情況，利用與已知定理矛盾，從而假設(shè)不成立．以此推斷其中銳角三角形最多有3個(gè)．

解答：解：平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)（沒(méi)有三點(diǎn)共線）可以組成4個(gè)三角形．
假設(shè)以每三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形都是銳角三角形，記四個(gè)點(diǎn)為A、B、C、D，考慮點(diǎn)D在△ABC之內(nèi)與之外這兩種情況．
（1）如果點(diǎn)D在△ABC之內(nèi)，由假設(shè)知圍繞點(diǎn)D的三個(gè)角都是銳角，其和小于270°，這與一個(gè)周角等于360°相矛盾，根據(jù)∠ADB、∠BDC、∠ADC三個(gè)角一定小于180°，即其中兩個(gè)的和一定大于180°，則三個(gè)角中最多有2個(gè)銳角，即△ABD、△ADC和△BDC中最多有2個(gè)銳角三角形，加上△ABC，則圖中最多有3個(gè)銳角三角形．
（2）如果點(diǎn)D在△ABC之外，由假設(shè)知∠ABC、∠BCD、∠CDA、∠DAB都小于90°，這與四邊形的內(nèi)角和為360°相矛盾，則四個(gè)角中最多有3個(gè)銳角，則四個(gè)三角形中最多有三個(gè)銳角三角形．
綜上所述，銳角三角形最多有3個(gè)．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，正確判斷∠ADB、∠BDC、∠ADC三個(gè)角中最多有2個(gè)銳角，以及∠ABC、∠BCD、∠CDA、∠DAB四個(gè)三角形中最多有三個(gè)銳角三角形是關(guān)鍵．