Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（4，3），點(diǎn)B在x軸的正半軸上．
（1）求OA的長；
（2）動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒一個單位長度的速度在菱形OABC的邊上沿O-A-B-C的順序向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時停止運(yùn)動：
①設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒，△POC的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
②已知Q是∠AOB的角平分線上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時，求PQ+AQ的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）利用勾股定理列式計(jì)算即可得解；
（2）求出菱形的高，①分0＜t≤5時，點(diǎn)P在OA上，5＜t≤10時，點(diǎn)P在AB上，10＜t≤15時，點(diǎn)P在BC上，利用三角形的面積公式列式整理即可得解；
②根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找出點(diǎn)A關(guān)于∠AOB的角平分線的對稱點(diǎn)A′，再根據(jù)垂線段最短可知A′P⊥AB時，PQ+AQ的值最小，利用∠AOB的正弦值列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵A（4，3），
∴OA=

32+42

=5；

（2）設(shè)菱形的高為h，則S_菱形=4×

1

2

×4×3=5h，
解得h=

24

5

，
①0＜t≤5時，點(diǎn)P在OA上，S=

1

2

t•

24

5

=

12

5

t，
5＜t≤10時，點(diǎn)P在AB上，S=

1

2

×5×

24

5

=12，
10＜t≤15時，點(diǎn)P在BC上，S=

1

2

（15-t）•

24

5

=-

12

5

t+36；
②如圖，A關(guān)于∠AOB的角平分線的對稱點(diǎn)A′，
則OA′=OA=5，
由垂線段最短可知A′P⊥AB時，PQ+AQ的值最小，
此時PQ+AQ的值最小值=5×

3

5

=3．

點(diǎn)評：本題考查了菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，軸對稱確定最短路線問題，難點(diǎn)在于（2）①要根據(jù)點(diǎn)P的位置分情況討論，②確定出點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A′的位置是解題的關(guān)鍵．