Question

已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P為BC上任意一點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于點(diǎn)F．
（1）求證：△ADF∽△BDE；
（2）求證：△DEF∽△ABC．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）由∠BAC=90°，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC可得到四邊形AEPF為矩形，則AF=EP，再利用有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得到Rt△BEP∽R(shí)t△BDA，得到

EP

AD

=

BE

BD

，則

AF

AD

=

BE

BD

，利用比例性質(zhì)變形得

AF

BE

=

AD

BD

，根據(jù)等角的余角相等得∠DAF=∠B，根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可判斷△ADF∽△BDE；
（2）由△ADF∽△BDE得到∠ADF=∠BDE，

DF

DE

=

AD

BD

，變形得

DF

AD

=

DE

BD

，再由∠BDF+∠ADE=90°得到∠DEF=90°，于是可證明△DEF∽△DBA，所以∠DEF=∠B，然后根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得到Rt△DEF∽R(shí)t△ABC．

解答：證明：（1）∵∠BAC=90°，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四邊形AEPF為矩形，
∴AF=EP，
∵∠EBP=∠DBA，
∴Rt△BEP∽R(shí)t△BDA，
∴

EP

AD

=

BE

BD

，
∴

AF

AD

=

BE

BD

，即

AF

BE

=

AD

BD

，
∵∠DAF+∠BAD=90°，∠B+∠BAD=90°，
∴∠DAF=∠B，
∴△ADF∽△BDE；
（2）∵△ADF∽△BDE，
∴∠ADF=∠BDE，

DF

DE

=

AD

BD

，即

DF

AD

=

DE

BD

而∠BDF+∠ADE=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，∠DEF=90°，
∴∠ADB=∠FDE，
∴△DEF∽△DBA，
∴∠DEF=∠B，
∴Rt△DEF∽R(shí)t△ABC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．