Question

如圖，⊙O₁與⊙O₂外切于點(diǎn)D，直線l與兩圓分別相切于點(diǎn)A、B，與直線
O₁O₂相交于點(diǎn)M，且tan∠AM0₁=

3

3

，MD=4

3

．
（1）求⊙O₁的半徑；
（2）求△ADB內(nèi)切圓的面積；
（3）在直線l上是否存在點(diǎn)P，使△MO₂P相似于△MDB？若存在，求出PO₂的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）設(shè)⊙O₁的半徑為r．連結(jié)O₁A，由切線性質(zhì)可知O₁A⊥MA．由題意得∠AM0₁=30°，因此△MAO₁是一個(gè)含30度角的直角三角形，所以MO₁=2O₁A=2r，從而MD=3r=4

3

，由此求出⊙O₁的半徑；
（2）利用互余由∠AM0₂=30°得到∠MO₂B=60°，則可判斷△O₂BD為等邊三角形，所以BD=O₂B=4

3

，∠DBO₂=60°，于是可計(jì)算出∠ABD=30°，同樣可得∠MO₁A=60°，利用三角形外角性質(zhì)可計(jì)算得∠O₁AD=

1

2

∠MO₁A=30°，則∠DAB=60°，所以∠ADB=90°，在Rt△ABD中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AD=

3

3

BD=4，AB=2AD=8，利用直角三角形內(nèi)切圓的半徑公式得到△ADB內(nèi)切圓的半徑=

AD+BD-AB

2

=2

3

-2，然后根據(jù)圓的面積公式求解；
（3）先在Rt△MBO₂中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得MB=

3

O₂B=12，然后分類(lèi)討論：△MO₂P與△MDB有一個(gè)公共角，當(dāng)△MO₂P∽△MDB時(shí)，利用相似比可計(jì)算出O₂P=8

3

；當(dāng)△MO₂P∽△MBD時(shí)，利用相似比可計(jì)算出O₂P=8．

解答：解：（1）設(shè)⊙O₁的半徑為r．
連結(jié)O₁A，如圖，
∵M(jìn)A為切線，
∴O₁A⊥MA．
∵tan∠AM0₁=

3

3

，
∴∠AM0₁=30°，
∴MO₁=2O₁A=2r．
∴MD=MO₁+O₁D=3r=4

3

，
∴⊙O₁的半徑r=

4 3

3

．

（2）連結(jié)O₂B，如圖，
∵∠AM0₂=30°，
∴∠MO₂B=60°，
而O₂B=O₂D，
∴△O₂BD為等邊三角形，
∴BD=O₂B=4

3

，∠DBO₂=60°，
∴∠ABD=30°，
∵∠AM0₁=30°，
∴∠MO₁A=60°，
而O₁A=O₁D，
∴∠O₁AD=∠O₁DA，
∴∠O₁AD=

1

2

∠MO₁A=30°，
∴∠DAB=60°，
∴∠ADB=180°-30°-60°=90°，
在Rt△ABD中，AD=

3

3

BD=4，AB=2AD=8，
∴△ADB內(nèi)切圓的半徑=

AD+BD-AB

2

=

4+4 3 -8

2

=2

3

-2，
∴△ADB內(nèi)切圓的面積=π•（2

3

-2）²=（16-8

3

）π；

（3）存在．
在Rt△MBO₂中，MB=

3

O₂B=

3

×4

3

=12，
當(dāng)△MO₂P∽△MDB時(shí)，

O2P

DB

=

MO2

MD

，即

O2P

4 3

=

8 3

4 3

，解得O₂P=8

3

；
當(dāng)△MO₂P∽△MBD時(shí)，

O2P

BD

=

MO2

MB

，即

O2P

4 3

=

8 3

12

，解得O₂P=8，
綜上所述，滿足條件的O₂P的長(zhǎng)為8或8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質(zhì)、兩圓相切的性質(zhì)和直角三角形內(nèi)切圓的半徑；會(huì)利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和三角形相似比進(jìn)行幾何計(jì)算；會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．