【題目】在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,點E、F分別在BC與CD上,且∠EAF=45°.如圖甲,若EA=EF,則EF=_____;如圖乙,若CE=CF,則EF=_____.
【答案】 .
【解析】
(1)已知EA=EF,∠EAF=45°,由三角形的內(nèi)角和得∠AEF=90°,∠AEB+∠FEC=90°,又因∠BAE+∠AEB=90°,等量代換得∠BAE=∠CEF,從而證明△ABE≌△ECF;EF的長可由勾股定理求出.
(2)作輔助線FM 和EN,已知△CEF,構(gòu)建兩個等腰△DEM,△BEN可求出線段DF,AM,FC,BE和AN的長;證明△ANE∽△FMA,再由兩個三角形相似的性質(zhì)求出相似比,解出x的值,由勾股定理(或三角函數(shù))求出EF的長.
解:(1)如圖甲所示:
∵EA=EF,
∴△AEF是等腰直角三角形,∠EAF=∠EFA,
∵∠EAF=45°,
∴∠EFA=45°,
又∵在△AEF中,∠EAF+∠EFA+∠AEF=180°,
∴∠AEF=180°﹣45°﹣45°=90°,
又∵∠AEB+∠AEF+∠FEC=180°,
∴∠AEB+∠FEC=90°,
又∵△ABE中,∠B+∠BAE+∠AEB=180°,
∠B=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,
∴∠BAE=∠CEF,
在△ABE和△ECF中
,
∴△ABE≌△ECF(AAS)
∴AB=EC,BE=CF,
又∵AB=3,BC=4,
∴EC=3,CF=1,
在Rt△CEF中,由勾股定理得:
故答案為.
(2)如圖乙所示:
作DM=DF,BN=BE,分別交AD,AB于點M和點N,設(shè)MD=x,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=90°,
∴∠BNE=45°,∠DMF=90°,
又∵∠BNE+∠ENA=180°,∠FMD+∠FMA=180°,
∴∠ENA=135°,∠FMA=135°,
又∵∠EAF=45°,∠BAD=∠BAE+∠EAF+∠FAD=90°,
∴∠BAE+∠FAD=45°,
∵∠BAE+∠NEA=45°,
在△ANE和△FMA中
,
∴△ANE∽△FMA
∴;
又∵MD=x,∴DF=x,
∵CE=CF,AB=3,BC=4,
∴FC=EC=3﹣x,BE=BC-CE=4-(3-x)=x+1,AN=2﹣x,
∴,
解得:x=2﹣4或x=﹣2﹣4(舍去),
∴FC=3﹣(2﹣4)=7﹣2,
∴EF=FC=(7﹣2)=7﹣4.
故答案為7﹣4.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了給游客提供更好的服務(wù),某景區(qū)隨機對部分游客進行了關(guān)于“景區(qū)服務(wù)工作滿意度”的調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖表.
滿意度 | 人數(shù) | 所占百分比 |
非常滿意 | 12 | 10% |
滿意 | 54 | m |
比較滿意 | n | 40% |
不滿意 | 6 | 5% |
根據(jù)圖表信息,解答下列問題:
(1)本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為______,表中m的值為_______;
(2)請補全條形統(tǒng)計圖;
(3)據(jù)統(tǒng)計,該景區(qū)平均每天接待游客約3600人,若將“非常滿意”和“滿意”作為游客對景區(qū)服務(wù)工作的肯定,請你估計該景區(qū)服務(wù)工作平均每天得到多少名游客的肯定.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】科研所計劃建一幢宿舍樓,因為科研所實驗中會產(chǎn)生輻射,所以需要有兩項配套工程.①在科研所到宿舍樓之間修一條高科技的道路;②對宿含樓進行防輻射處理;已知防輻射費y萬元與科研所到宿舍樓的距離xkm之間的關(guān)系式為y=ax+b(0≤x≤3).當(dāng)科研所到宿舍樓的距離為1km時,防輻射費用為720萬元;當(dāng)科研所到宿含樓的距離為3km或大于3km時,輻射影響忽略不計,不進行防輻射處理,設(shè)修路的費用與x2成正比,且比例系數(shù)為m萬元,配套工程費w=防輻射費+修路費.
(1)當(dāng)科研所到宿舍樓的距離x=3km時,防輻射費y=____萬元,a=____,b=____;
(2)若m=90時,求當(dāng)科研所到宿舍樓的距離為多少km時,配套工程費最少?
(3)如果最低配套工程費不超過675萬元,且科研所到宿含樓的距離小于等于3km,求m的范圍?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人相約周末沿同一條路線登山,甲、乙兩人距地面的高度y(米)與登山時間x(分鐘)之間的函數(shù)圖象如圖所示,根據(jù)圖象所提供的信息解答下列問題
(1)甲登山的速度是每分鐘 米;乙在A地提速時,甲距地面的高度為 米;
(2)若乙提速后,乙的速度是甲登山速度的3倍;
①求乙登山全過程中,登山時距地面的高度y(米)與登山時間x(分鐘)之間的函數(shù)解析式;
②乙計劃在他提速后5分鐘內(nèi)追上甲,請判斷乙的計劃能實現(xiàn)嗎?并說明理由;
(3)當(dāng)x為多少時,甲、乙兩人距地面的高度差為80米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點D,E在⊙O上,∠B=2∠ADE,點C在BA的延長線上.
(Ⅰ)若∠C=∠DAB,求證:CE是⊙O的切線;
(Ⅱ)若OF=2,AF=3,求EF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,平面內(nèi)有一點P到△ABC的三個頂點的距離分別為PA、PB、PC,若有PA2=PB2+PC2則稱點P為△ABC關(guān)于點A的勾股點.
(1)如圖2,在4×5的網(wǎng)格中,每個小正方形的長均為1,點A、B、C、D、E、F、G均在小正方形的頂點上,則點D是△ABC關(guān)于點 的勾股點;在點E、F、G三點中只有點 是△ABC關(guān)于點A的勾股點.
(2)如圖3,E是矩形ABCD內(nèi)一點,且點C是△ABE關(guān)于點A的勾股點,
①求證:CE=CD;②若DA=DE,∠AEC=120°,求∠ADE的度數(shù).
(3)矩形ABCD中,AB=5,BC=6,E是矩形ABCD內(nèi)一點,且點C是△ABE關(guān)于點A的勾股點,
①若△ADE是等腰三角形,求AE的長;②直接寫出AE+BE的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若用“*”表示一種運算規(guī)則,我們規(guī)定:a*b=ab﹣a+b,如:3*2=3×2﹣3+2=5.以下說法中錯誤的是( 。
A. 不等式(﹣2)*(3﹣x)<2的解集是x<3
B. 函數(shù)y=(x+2)*x的圖象與x軸有兩個交點
C. 在實數(shù)范圍內(nèi),無論a取何值,代數(shù)式a*(a+1)的值總為正數(shù)
D. 方程(x﹣2)*3=5的解是x=5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知雙曲線(k<0)經(jīng)過直角三角形OAB斜邊OA的中點D,且與直角邊AB相交于點C.若點A的坐標(biāo)為(﹣6,4),則△AOC的面積為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,BA=BC,BD平分∠ABC.
(1)求證:四邊形ABCD是菱形;
(2)過點D作DE⊥BD,交BC的延長線于點E,若BC=5,BD=8,求四邊形ABED的周長.
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