Question

14．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，點D為AC的中點，以AB為一邊向外作等邊三角形ABE，連結(jié)DE．
（1）證明：DE∥CB；
（2）探索AC與AB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形DCBE是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得BD=$\frac{1}{2}$AC=AD，利用等邊三角形的性質(zhì)可得AE=BE，然后證明△ADE≌△BDE，進而可求出∠AED=∠BED=30°，
然后再證明∠BED+∠EBC=180°，從而可得結(jié)論；
（2）當(dāng)AB=$\frac{1}{2}$AC或AC=2AB時，四邊形DCBE是平行四邊形，首先利用三角函數(shù)求出∠C=30°，然后證明DC∥BE，再有DE∥BC，可得四邊形DCBE是平行四邊形．

解答 （1）證明：連結(jié)BD．
∵點D為Rt△ABC的斜邊AC的中點，
∴BD=$\frac{1}{2}$AC=AD，
∵△ABE是等邊三角形，
∴AE=BE，
在△ADE與△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{AE=BE}\\{DE=ED}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BDE（SSS），
∴∠AED=∠BED=30°，
∵∠CBE=150°，
∴∠BED+∠EBC=180°，
∴DE∥CB；

（2）解：當(dāng)AB=$\frac{1}{2}$AC或AC=2AB時，四邊形DCBE是平行四邊形． 
理由：∵AB=$\frac{1}{2}$AC，∠ABC=90°，
∴∠C=30°，
∵∠EBC=150°，
∴∠EBC+∠C=180°，
∴DC∥BE，
又∵DE∥BC，
∴四邊形DCBE是平行四邊形．

點評 此題主要考查了平行四邊形的判定，以及直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．