Question

【題目】如圖1，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且CD＝AE，AD與BE相交于點(diǎn)F．

（1）求證：∠ABE＝∠CAD；

（2）如圖2，以AD為邊向左作等邊△ADG，連接BG．

ⅰ）試判斷四邊形AGBE的形狀，并說(shuō)明理由；

ⅱ）若設(shè)BD＝1，DC＝k（0＜k＜1），求四邊形AGBE與△ABC的周長(zhǎng)比（用含k的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）�。┧倪呅�AGBE是平行四邊形，證明詳見(jiàn)解析；ⅱ）.

【解析】

（1）只要證明△BAE≌△ACD；
（2）�。┧倪呅�AGBE是平行四邊形，只要證明BG=AE，BG∥AE即可；
ⅱ）求出四邊形BGAE的周長(zhǎng)，△ABC的周長(zhǎng)即可；

（1）證明：如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，

∵AE＝CD，

∴△BAE≌△ACD，

∴∠ABE＝∠CAD．

（2）�。┤鐖D2中，結(jié)論：四邊形AGBE是平行四邊形．

理由：∵△ADG，△ABC都是等邊三角形，

∴AG＝AD，AB＝AC，

∴∠GAD＝∠BAC＝60°，

∴△GAB≌△DAC，

∴BG＝CD，∠ABG＝∠C，

∵CD＝AE，∠C＝∠BAE，

∴BG＝AE，∠ABG＝∠BAE，

∴BG∥AE，

∴四邊形AGBE是平行四邊形，

ⅱ）如圖2中，作AH⊥BC于H．

∵BH＝CH＝

∴

∴

∴四邊形BGAE的周長(zhǎng)＝,△ABC的周長(zhǎng)＝3（k+1），

∴四邊形AGBE與△ABC的周長(zhǎng)比＝