Question

自從我市實行大課間活動以來，跳大繩成了同學們最喜愛的活動方式，你知道嗎？在我們跳大繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線，如圖，正在甩繩的甲、乙兩名同學拿繩的手間距離均為4米，手距地面均為1米，同學丙直立在距甲拿繩的手水平距離3米處，其身高為1.5米，當繩子甩到最高處時剛好通過他的頭頂（假設在跳繩過程中人的頂部與地面的距離不變）．
（1）若身高為1.75米的小明同學也在甲、乙之間和丙一同跳，試問這次小明同學在不彎腰的情況下能順利通過嗎？請用學過的知識解決這個問題；
（2）身高為1.33米的小芳也想和丙一同跳，她應該站在什么地方起跳？（精確到0.01米）

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應用

專題：

分析：（1）設丙所在豎直方向為y軸，水平地面為x軸，根據(jù)圖象過（1，1），（0，1.5），（-3，1）三點，用待定系數(shù)法可求出拋物線解析式．然后令y=1.75時，判斷根的判別式符號即可．
（2）根據(jù)（1）所求拋物線，利用y=1.33進而求出x的取值范圍．

解答：解：（1）設丙所在豎直方向為y軸，水平地面為x軸，

所求的函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，
由圖可知，函數(shù)的圖象過（-3，1），（0，1.5），（1，1）三點，
則

9a-3b+c=1 c=1.5 a+b+c=1

，
解得：

a=- 1 6 b=- 1 3 c= 3 2

，
故拋物線解析式為：y=-

1

6

x²-

1

3

x+

3

2

，
當y=1.75，則1.75=-

1

6

x²-

1

3

x+

3

2

，
整理得出：2x²+4x+3=0，
b²-4ac=16-24=-8＜0，
故此方程沒有實數(shù)根，
故這次小明同學在不彎腰的情況下不能順利通過；

（2）由題意可得出：1.33=-

1

6

x²-

1

3

x+

3

2

，
整理得出：x²+2x-1.02=0，
解得：x₁=

-2+ 8.02

2

≈0.42，x₂≈-2.42，
故她應該站在距離丙0.42m或者站在距離丙2.42m的直接的地方都可以．

點評：本題考查了二次函數(shù)的應用，難度較大，此題為數(shù)學建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題是解題關鍵．