【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與坐標(biāo)軸分別交于、兩點(diǎn),拋物線、兩點(diǎn),點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)軸于點(diǎn),交拋物線于點(diǎn)

求拋物線的解析式.

面積的最大值.

連接,是否存在點(diǎn),使得相似?若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說明理由.

【答案】(1).(2)存在點(diǎn),使得相似,點(diǎn)的坐標(biāo)為

【解析】

(1)首先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;

(2)設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(m,0)(m<0),則點(diǎn)E坐標(biāo)為(m,-m2-3m+4),從而得出OC=-m、OF=-m2-3m+4、BF=-m2-3m,根據(jù)SABE=S梯形AOFE-SAOB-SBEF得出S=-2(m+2)2+8,據(jù)此可得答案;

(3)由于ACD為等腰直角三角形,而DBEDAC相似,則DBE必為等腰直角三角形.分兩種情況討論,要點(diǎn)是求出點(diǎn)E的坐標(biāo),由于點(diǎn)E在拋物線上,則可以由此列出方程求出未知數(shù).

在直線解析式中,令,得;令,得,

∵點(diǎn),在拋物線上,

,

解得:,,

∴拋物線的解析式為:

如圖,連接、過點(diǎn)軸于點(diǎn),

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,則點(diǎn)坐標(biāo)為,

,,

,

,

∴當(dāng)時(shí),取得最大值,最大值為

面積的最大值為設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,則,,,

為等腰直角三角形,相似

必為等腰直角三角形.

,則,

,

,

,

∵點(diǎn)在拋物線上,

,解得(不合題意,舍去)或

;

,則,

在等腰直角三角形中,

,

∵點(diǎn)在拋物線上,

,解得(不合題意,舍去)或,

綜上所述,存在點(diǎn),使得相似,點(diǎn)的坐標(biāo)為

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