Question

探究與發(fā)現(xiàn)：如圖（1）的圖形，像我們?nèi)粘Ｋ�見的圓規(guī)，不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”．這一簡單圖形，到底隱藏著哪些數(shù)學(xué)知識呢？下面就請發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：

（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間大小的關(guān)系，并說明理由；
（2）請你直接利用以上結(jié)論，回答下列兩個(gè)問題：
①如圖（2），把一塊三角板XYZ放置在△ABC上，使其兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C．若∠A=30°，則∠ABX+∠ACX=

 

°；
②如圖（3），∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G₁、G₂…、G₉，若∠BDC=139°，∠BG₁C=67°，求∠A的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）過點(diǎn)A、D作直線AD，由三角形外角的性質(zhì)可知，∠1＞∠3，∠2＞∠4，故可得出結(jié)論；直接根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
（2）①由∠A=30°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得∠ABC+∠ACB=180°-30°=150°，而∠XBC+∠XCB=180°-90°=90°，∴∠ABX+∠ACX=∠ABC-∠XBC+∠ACB-∠XCB=∠ABC+∠ACB-（∠XBC+∠XCB），即可得到∠ABX+∠ACX度數(shù)；②由①的方法，進(jìn)而可得答案．

解答：（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C．
證明：∵由（1）可知，∠1是△ABD的外角，∠2是△ACD的外角，
∴∠1=∠3+∠B，∠2=∠4+∠C，
∴∠1+∠2=（∠3+∠4）+∠B+∠C，即∠BDC=∠A+∠B+∠C．

（2）①解：∵∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-30°=150°，
又∵XYZ為直角三角板，即∠YXZ=90，°
∴∠XBC+∠XCB=180°-90°=90°，
∴∠ABX+∠ACX=∠ABC-∠XBC+∠ACB-∠XCB，
=∠ABC+∠ACB-（∠XBC+∠XCB），
=150°-90°，
=60°．

②解：如圖，∠BG₁C=

1

10

（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG₁C=67°，
∴設(shè)∠A為x°，
∵∠ABD+∠ACD=139°-x°
∴

1

10

（139-x）+x=67，
13.9-

1

10

x+x=67，
x=59
∴∠A為59°．
故答案是：60，59°．

點(diǎn)評：本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．