Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作⊙O的切線與AD的延長(zhǎng)線交于F．
（1）求證：∠ABC=∠F；
（2）若sinC=

3

5

，DF=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：（1）由切線的性質(zhì)得AB⊥BF，因?yàn)镃D⊥AB，所以CD∥BF，由平行線的性質(zhì)得∠ADC=∠F，由圓周角定理得∠ABC=∠ADC，于是得證∠ABC=∠F；
（2）連接BD．由直徑所對(duì)的圓周角是直角得∠ADB=90°，因?yàn)椤螦BF=90°，所以∠A=∠DBF，于是得∠C=∠DBF．在Rt△DBF中得BD=8．在Rt△ABD中，sinC=sinA=

3

5

，AB=

40

3

，于是⊙O的半徑為

20

3

．

解答：（1）證明：∵BF為⊙O的切線，
∴AB⊥BF于點(diǎn)B．
∵CD⊥AB，
∴∠ABF=∠AHD=90°．
∴CD∥BF．
∴∠ADC=∠F．
又∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC=∠F．
（2）解：連接BD．

∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
由（1）∠ABF=90°，
∴∠A=∠DBF．
又∵∠A=∠C．
∴∠C=∠DBF．
在Rt△DBF中，sinC=sin∠DBF=

3

5

，DF=6，
∴BD=8．
在Rt△ABD中，sinC=sinA=

3

5

，
∴AB=

40

3

．
∴⊙O的半徑為

20

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的性質(zhì)以及解直角三角形，還用到圓周角定理及其推論，運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．