Question

正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，直角三角板EFG的直角頂點(diǎn)E在線段AC上，EF、EG與BC、CD邊相交于M、N．
（1）如圖1，若E點(diǎn)與O點(diǎn)重合，求證：EM=EN；
（2）如圖2，若E點(diǎn)不與O點(diǎn)重合：
①EM還等于EN嗎？說明理由；
②試找出MC、CN、EC三者之間的等量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：（1）要證明EM=EN，證明△OBM≌△OCN即可解本題；
（2）同理可證△OBM≌△OCN；
（3）找出MC+NC與CG的關(guān)系，找到CG與EC的關(guān)系即可解本題．

解答：解：（1）在正方形ABCD中，OA=OB=OC=OD，且∠OBC=∠OCD，∠BOC=90°，
∵∠FOG=90°，
∴∠BOM=∠BOC-∠MOC=90°-∠MOC，∠CON=∠FOG-∠MOC=90°-∠MOC，
∴∠BOM=∠CON，
在△OBM和△OCN中，

∠BOM=∠CON OB=OC ∠OBM=∠OCN

，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴EM=EN；

（2）
過E作EH⊥BC，EG⊥CD，
由正方形ABCD可知，AC平分∠BCD，
∴EH=EG，
∵∠HEG=360°-∠EHC-∠EGC-∠HCG=90°，
∴∠MEH=∠NEG，而∠EHM=∠EGN=90°，
∴△EMH≌△ENG，
∴EM=EN；

（3）由△EMH≌△ENG可知，MH=NG，而EG=HC，
∴MC+NC=MH+HC+NC=NG+EG+NC=EG+CG=2CG，
∵CG=

2

2

EC，
∴MC+NC=

2

EC．
答：（1）EM=EN，（2）EM=EN，（3）MC+NC=

2

EC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)．