Question

猜想與證明：
如圖1擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B、C、G三點(diǎn)在一條直線上，CE在邊CD上，連接AF，若M為AF的中點(diǎn)，連接DM、ME，試猜想DM與ME的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
拓展與延伸：
（1）若將”猜想與證明“中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關(guān)系為

 

．
（2）如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)M仍為AF的中點(diǎn)，試證明（1）中的結(jié)論仍然成立．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題,直角三角形斜邊上的中線,正方形的性質(zhì)

專題：幾何綜合題,壓軸題,探究型

分析：猜想：延長EM交AD于點(diǎn)H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明．
（1）延長EM交AD于點(diǎn)H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明，
（2）連接AE，AE和EC在同一條直線上，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明，

解答：猜想：DM=ME
證明：如圖1，延長EM交AD于點(diǎn)H，

∵四邊形ABCD和CEFG是矩形，
∴AD∥EF，
∴∠EFM=∠HAM，
又∵∠FME=∠AMH，F(xiàn)M=AM，
在△FME和△AMH中，

∠EFM=∠HAM FM=AM ∠FME=∠AMH

∴△FME≌△AMH（ASA）
∴HM=EM，
在RT△HDE中，HM=EM，
∴DM=HM=ME，
∴DM=ME．
（1）如圖1，延長EM交AD于點(diǎn)H，
∵四邊形ABCD和CEFG是正方形，
∴AD∥EF，
∴∠EFM=∠HAM，
又∵∠FME=∠AMH，F(xiàn)M=AM，
在△FME和△AMH中，

∠EFM=∠HAM FM=AM ∠FME=∠AMH

∴△FME≌△AMH（ASA）
∴HM=EM，
在RT△HDE中，HM=EM，
∴DM=HM=ME，
∴DM=ME．
∵四邊形ABCD和CEFG是正方形，
∴AD=CD，CE=CF，
∵△FME≌△AMH，
∴EF=AH，
∴DH=DE，
∴△DEH是等腰直角三角形，
又∵M(jìn)H=ME，
故答案為：DM=ME，DM⊥ME．
（2）如圖2，連接AE，

∵四邊形ABCD和ECGF是正方形，
∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，
∴AE和EC在同一條直線上，
在Rt△ADF中，AM=MF，
∴DM=AM=MF，∠MDA=∠MAD，
∴∠DMF=2∠DAM．
在Rt△AEF中，AM=MF，
∴AM=MF=ME，
∴DM=ME．
∵∠MDA=∠MAD，∠MAE=∠MEA，
∴∠DME=∠DMF+∠FME=∠MDA+∠MAD+∠MAE+∠MEA=2（∠DAM+∠MAE）=2∠DAC=2×45°=90°．
∴DM⊥ME．

點(diǎn)評：本題主要考查四邊形的綜合題，解題的關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)及直角三角形的中線與斜邊的關(guān)系找出相等的線段．