Question

已知：如圖，在?ABCD中，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線EF分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連結(jié)BE，DF．
（1）求證：△DOE≌△BOF；
（2）當(dāng)∠DOE等于多少度時(shí)，四邊形BFDE為菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定

專題：幾何綜合題

分析：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）首先利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，進(jìn)而利用垂直平分線的性質(zhì)得出BE=ED，即可得出答案．

解答：（1）證明：∵在?ABCD中，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中

∠EDO=∠OBF DO=BO ∠EOD=∠FOB

，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；

（2）解：當(dāng)∠DOE=90°時(shí)，四邊形BFDE為菱形，
理由：∵△DOE≌△BOF，
∴OE=OF，
又∵OB=OD
∴四邊形EBFD是平行四邊形，
∵∠EOD=90°，
∴EF⊥BD，
∴四邊形BFDE為菱形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和菱形的判定等知識(shí)，得出BE=DE是解題關(guān)鍵．