Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線，BM平分∠ABC交AE于點(diǎn)M，經(jīng)過(guò)B、M兩點(diǎn)的⊙O交BC于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F，F(xiàn)B恰為⊙O的直徑．

（1）判斷AE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)BC=4，AC=3CE時(shí)，求⊙O的半徑．

 

 

Answer 1

（1）相切，理由詳見(jiàn)解析；（2）⊙O的半徑為

【解析】

試題分析：（1）AE與⊙O相切，利用圓的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠AMO=90°，即OM⊥AE即可；

（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則AO=6﹣r利用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的有關(guān)知識(shí)以及利用平行線判定三角形相似和相似三角形的性質(zhì)即可求出r的值．

試題解析：（1）AE與⊙O相切．

理由如下：

連接OM，則OM=OB，

∴∠OMB=∠OBM．

∵BM平分∠ABC，

∴∠OBM=∠EBM．

∴∠OMB=∠EBM．

∴OM∥BC．

∴∠AMO=∠AEB．

在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線，

∴AE⊥BC．

∴∠AEB=90°．

∴∠AMO=90°．

∴OM⊥AE．

∴AE與⊙O相切；

（2）在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線，

∴BE=BC，∠ABC=∠C．

∵BC=4，cosC=，

∴BE=2，cos∠ABC=．

在△ABE中，∠AEB=90°，

∴．

設(shè)⊙O的半徑為r，則AO=6﹣r．

∵OM∥BC，

∴△AOM∽△ABE．

∴．

∴．

解得：r=

∴⊙O的半徑為．

考點(diǎn)：1. 切線的判定；2.相似三角形的判定與性質(zhì)；3.解直角三角形.