Question

如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，且DE=2CE，過點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，則OF的長為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,正方形的性質(zhì)

專題：計算題,幾何圖形問題

分析：在BE上截取BG=CF，連接OG，證明△OBG≌△OCF，則OG=OF，∠BOG=∠COF，得出等腰直角三角形GOF，在RT△BCE中，根據(jù)射影定理求得GF的長，即可求得OF的長．

解答：解：如圖，在BE上截取BG=CF，連接OG，
∵RT△BCE中，CF⊥BE，
∴∠EBC=∠ECF，
∵∠OBC=∠OCD=45°，
∴∠OBG=∠OCF，
在△OBG與△OCF中

OB=OC ∠OBG=∠OCF BG=CF

∴△OBG≌△OCF（SAS）
∴OG=OF，∠BOG=∠COF，
∴OG⊥OF，
在RT△BCE中，BC=DC=6，DE=2EC，
∴EC=2，
∴BE=

BC2+CE2

=

62+22

=2

10

，
∵BC²=BF•BE，
則6²=BF•2

10

，解得：BF=

9 10

5

，
∴EF=BE-BF=

10

5

，
∵CF²=BF•EF，
∴CF=

3 10

5

，
∴GF=BF-BG=BF-CF=

6 10

5

，
在等腰直角△OGF中
OF²=

1

2

GF²，
∴OF=

6 5

5

．
故答案為：

6 5

5

．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的應(yīng)用．