Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)O在AB邊上，過點(diǎn)O作BC的平行線交∠ABC的平分線于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥BD交直線OD于點(diǎn)E．
（1）求證：OE=OD；
（2）當(dāng)點(diǎn)O在AB的什么位置時，四邊形BDAE是矩形？說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的判定,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：（1）根據(jù)角平分線和等腰三角形腰長相等性質(zhì)證明OB=OD，再根據(jù)直角三角形中線的性質(zhì)即可判定O點(diǎn)為DE的中點(diǎn)，即OE=OD；
（2）設(shè)定四邊形BDAE為矩形，可求出Rt△AEB中，O點(diǎn)為斜邊AB的中點(diǎn)．

解答：解：（1）∵BD是∠ABC的角平分線，
∴∠ABD=∠DBC；
∵ED∥BC，
∴∠ODB=∠DBC=∠ABD，
∴△OBD為等腰三角形，
∴OB=OD，
在Rt△EBD中，OB=OD，那么O就是斜邊ED的中點(diǎn)．
∴OE=OD；

（2）∵四邊形BDAE為矩形，
∴∠AEB為直角，
△AEB為直角三角形；
∵四邊形BDAE為矩形，
∴OA=OB=OE=OD，
∵Rt△AEB中，OE=OA=OB，
∴O為斜邊AB的中點(diǎn)，
答：O為AB的中點(diǎn)時，四邊形BDAE為矩形．

點(diǎn)評：考查了矩形的判定和等腰三角形的判定與性質(zhì)，用等腰三角形腰長相等和直角三角形斜邊中線是斜邊的一半可解本題，熟練掌握直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)就可解題．