Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在第一象限，點B（30，0），OA=6

3

，∠AOB=30°．半徑為（3

3

+2.5）的⊙M的圓心M從點O出發(fā)，沿線段OA向終點A運動，速度為每秒2

3

個單位長度，半徑為（3

3

-2.5）的⊙N的圓心N從點B出發(fā)沿線段BO向終點O運動，速度為每秒10個單位長度，若兩圓⊙M、⊙N同時出發(fā)，運動時間為t秒，令y=MN²．
（1）填空：A、M、N三點坐標(biāo)分別為
A（

 

，

 

），M（

 

，

 

），N（

 

，

 

）．
（2）用t的代數(shù)式表示y．
（3）在運動過程時，⊙M與⊙N相切，求t的值．
（4）在運動的過程中，是否存在這樣的時刻t，使得△OMN是等腰三角形？若存在，求出t的所有可能值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）求A、M、N點坐標(biāo)，需要分別表示出其橫縱坐標(biāo)，故過A、M作x軸的垂線，由已知∠AOB=30°，則利用含30°直角三角形邊長性質(zhì)易得結(jié)果．
（2）y=MN²，由MN即為M、N點之間距離，通常作關(guān)于x軸、y軸直線，再利用直角三角形中勾股定理求解斜邊的長，由坐標(biāo)易得此直角三角形另外兩直角邊的長，所以易得y與t的關(guān)系式，注意還要討論t的取值范圍．
（3）兩圓相切，即有內(nèi)切、外切三種情形，由已知r_M＞r_N，則內(nèi)切、外切共兩種情形，即MN=r_M+r_N或MN=r_M-r_N．由（2）結(jié)論，易得方程，求解t即可．
（4）成等腰三角形，也有三種情形，OM=ON，或OM=MN，或MN=ON．有（1）、（2）結(jié)論，仿照（3）易得方程，求出所有t即可．

解答：解：（1）A（9，3

3

），M（3t，

3

t），N（30-10t，0）．
分析如下：

根據(jù)題意，如圖1，過點A作AC⊥OB于C，過點M作MD⊥OB于D，
在Rt△OAC中，
∵∠AOB=30°，OA=6

3

，
∴AC=3

3

，OC=9，
∴A（9，3

3

）．
在Rt△OMD中，
∵∠AOB=30°，OM=2

3

t，
∴MD=

3

t，OD=3t，
∴M（3t，

3

t）．
∵OB=30，NB=10t，
∴ON=30-10t，
∴N（30-10t，0）．

（2）
如圖2，連接MN，
在Rt△MND中，
∵MD=

3

t，ND=ON-OD=30-10t-3t=30-13t，
∴MN²=MD²+ND²=(

3

t)2+(30-13t)2，
∴y=172t²-780t+900．
∵6

3

÷2

3

=3，30÷10=3，
∴y=172t²-780t+900（0≤t≤3）．

（3）∵r_M=3

3

+2.5，r_N=3

3

-2.5，
∴r_M＞r_N，
∵⊙M與⊙N相切，
∴MN=r_M+r_N=3

3

+2.5+（3

3

-2.5）=6

3

，
 或MN=r_M-r_N=3

3

+2.5-（3

3

-2.5）=5，
①當(dāng)MN=r_M+r_N時，
(6

3

)2=172t²-780t+900，解得 t=3 或t=

63

43

，
②當(dāng)MN=r_M-r_N時，
25=172t²-780t+900，解得 t=

175

86

 或t=2.5，
綜上所述，t=

63

43

，

175

86

，2.5，3時，⊙M與⊙N相切．

（4）∵△OMN是等腰三角形，
∴OM=ON，或OM=MN，或MN=ON，
①當(dāng)OM=ON時，
∵OM=2

3

t，ON=30-10t，
∴2

3

t=30-10t，
解得 t=

75-15 3

22

．
②當(dāng)OM=MN時，
∵OM=2

3

t，MN²=172t²-780t+900，
∴(2

3

t)2=172t²-780t+900，
解得 t=

30

16

 或t=3（此時，N運動至O點，不構(gòu)成三角形舍去）．
③當(dāng)MN=ON時，
∵ON=30-10t，MN²=172t²-780t+900，
∴（30-10t）²=172t²-780t+900，
解得 t=0（此時，M在O點，不構(gòu)成三角形舍去） 或t=2.5．
綜上所述，t=

30

16

、

75-15 3

22

、2.5時，△OMN是等腰三角形．

點評：本題考查了含30°角直角三角形特性、利用勾股定理表示坐標(biāo)系中兩點距離、動點構(gòu)成圓的相切及構(gòu)成等腰三角形時的基本情形．其考點及考法都非常常規(guī)，是一道非常值得學(xué)生練習(xí)基礎(chǔ)的題目．