【題目】已知:如圖,在矩形ABCD中,M、N分別是AD、BC的中點(diǎn),PQ分別是BM、DN的中點(diǎn).

1)求證:BMDN;

2)求證:四邊形MPNQ是菱形;

3)矩形ABCD的邊長(zhǎng)ABAD滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)四邊形MPNQ為正方形,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)當(dāng)ABAD時(shí),四邊形MPNQ為正方形,理由詳見解析.

【解析】

1)因?yàn)?/span>M,N分別是AD,BC的中點(diǎn),由矩形的性質(zhì)可得DMBN,DMBN,利用平行四邊形的判定和性質(zhì)可得結(jié)論;

2)由四邊形DMBN是平行四邊形,求出BMDN,BMDN,求出三角形MPNQ是平行四邊形,根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出MQNQ,根據(jù)菱形判定推出即可.

3)根據(jù)正方形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

證明:(1)∵四邊形ABCD是矩形,

ADBC,ADBC,

M、N分別AD、BC的中點(diǎn),

DMBN,

∴四邊形DMBN是平行四邊形;

BMDN;

2)∵四邊形DMBN是平行四邊形,

BMDN,BMDN,

PQ分別BM、DN的中點(diǎn),

MPNQ,MPNQ

∴四邊形MPNC是平行四邊形,

連接MN

∵四邊形ABCD是矩形,

ADBC,ADBC,

M、N分別AD、BC的中點(diǎn),

DMCN

∴四邊形DMNC是矩形,

∴∠DMN=∠C90°,

QDN中點(diǎn),

MQNQ,

∴四邊形MPNQ是菱形.

3)當(dāng)ABAD時(shí),四邊形MPNQ為正方形,

理由:∵ABAD,

ABAM,

∴矩形ABNM是正方形,

P為正方形ABNM對(duì)角線BM的中點(diǎn),

∴∠NPM90°

∵四邊形MPNQ是菱形,

∴四邊形MPNQ是正方形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)如圖1,當(dāng)DO的延長(zhǎng)線OF平分∠BOC,∠α=______度;

2)如圖2,若(1)中直角三角形DOE繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)OD位于∠AOC的內(nèi)部,且∠AOD=AOC,∠α=__度;

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