Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與直線y=x-1交于A、B兩點(diǎn)．點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-3，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)P是y軸左側(cè)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于C，交直線AB于D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，S_{四邊形OBDC}=2S_△BPD；
（3）是否存在點(diǎn)P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）將x=0代入y=x-1求出B的坐標(biāo)，將x=-3代入y=x-1求出A的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式；
（2）連結(jié)OP，由P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m可以表示出P、D的坐標(biāo)，由此表示出S_{四邊形OBDC}和2S_△BPD建立方程求出其解即可．
（3）如圖2，當(dāng)∠APD=90°時(shí)，設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以表示出D的坐標(biāo)，由△APD∽△FCD列出比例式求解即可；如圖3，當(dāng)∠PAD=90°時(shí)，作AE⊥x軸于E，根據(jù)比例式表示出AD，再由△PAD∽△FEA列出比例式求解．

解答：解：（1）∵y=x-1，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，
∴B（0，-1）．
當(dāng)x=-3時(shí)，y=-4，
∴A（-3，-4）．
∵y=x²+bx+c與直線y=x-1交于A、B兩點(diǎn)，
∴

-1=c -4=9-3b+c

，
∴

b=4 c=-1

，
∴拋物線的解析式為：y=x²+4x-1；

（2）∵P點(diǎn)橫坐標(biāo)是m（m＜0），
∴P（m，m²+4m-1），D（m，m-1）
如圖1①，作BE⊥PC于E，
∴BE=-m．
CD=1-m，OB=1，OC=-m，CP=1-4m-m²，
∴PD=1-4m-m²-1+m=-3m-m²，
∴

-m(1+1-m)

2

=2×

-m(-3m-m2)

2

，
解得：m₁=0（舍去），m₂=-2，m₃=-

1

2

；
如圖1②，作BE⊥PC于E，
∴BE=-m．
PD=m²+4m-1+1-m=3m+m²，
∴

-m(1+1-m)

2

=2×

-m(2-5m-m2)

2

，
解得：m=0（舍去）或m=

-7+ 65

4

（舍去）或m=

-7- 65

4

，
∴m=-

1

2

，-2或

-7- 65

4

時(shí)，S_{四邊形OBDC}=2S_△BPD；

（3）如圖2，當(dāng)∠APD=90°時(shí)，設(shè)P（m，m²+4m-1），則D（m，m-1），
∴AP=m+3，CD=1-m，OC=-m，CP=1-4m-m²，
∴DP=1-4m-m²-1+m=-3m-m²．
在y=x-1中，當(dāng)y=0時(shí)，x=1，
∴F（1，0），
∴OF=1，
∴CF=1-m．AF=4

2

．
∵PC⊥x軸，
∴∠PCF=90°，
∴∠PCF=∠APD，
∴CF∥AP，
∴△APD∽△FCD，

AP

CF

=

DP

CD

，
∴

m+3

1-m

=

-3m-m2

1-m

，
解得：m=-1或m=-3（舍去），
∴P（-1，-4）
如圖3，當(dāng)∠PAD=90°時(shí)，作AE⊥x軸于E，
∴∠AEF=90°，CE=-3-m，EF=4，AF=4

2

，PD=1-m-（1-4m-m²）=3m+m²．
∵PC⊥x軸，
∴∠DCF=90°，
∴∠DCF=∠AEF，
∴AE∥CD．
∴

4

-3-m

=

4 2

AD

，
∴AD=

2

（-3-m）．
∵△PAD∽△FEA，
∴

PD

FA

=

AD

AE

，
∴

3m+m2

4 2

=

2 (-3-m)

4

，
∴m=-2或m=-3（舍去）
∴P（-2，-5）．
當(dāng)∠APD=90°時(shí)
∴點(diǎn)A與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱
∵A（-3，-4）
∴P（-1，-4）
綜上，存在點(diǎn)P（-2，-5）或P（-1，-4）使△PAD是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，四邊形的面積公式的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)函數(shù)的解析式是關(guān)鍵，用相似三角形的性質(zhì)求解是難點(diǎn)．