Question

如圖：拋物線y=-x²+bx+c交x軸于A、B，直線y=x+2過點A，交y軸于C，交拋物線于D，且D的縱坐標為5．
（1）求拋物線解析式；
（2）點P為拋物線第一象限的圖象上的一點，直線PC交x軸于點E，若PC=3CE，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，點Q為x軸上一點，把△PCQ沿CQ翻折，點P剛好落在x軸上點G處，求Q點的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將已知點的坐標代入二次函數(shù)的一般形式利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；
（2）設P（m，-m²+2m+8），作PH⊥x軸，交x軸于點H，從而得到△EOC∽△EHP，利用相似三角形對應邊的比相等得到PH=4OC，從而列出方程-m²+2m+8=4×2，求得m的值即可確定點的坐標；
（3）作PK⊥y軸，從而得到PK=2，KC=8-2=6，然后由翻折得△CQG≌△CQP，從而得到QG=QP，CG=CP=2

10

，然后在Rt△OCG中求得GO的長即可求得點G的坐標．

解答：解：（1）∵y=x+2，
∴A（-2，0），
∵D的縱坐標為5，
∴5=x+2，
解得：x=3
∴D（3，5），
又∵A（-2，0）D（3，5）在拋物線y=-x²+bx+c上，
∴

0=-4-2b+c 5=-9+3b+c

解得

b=2 c=8

∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+8；

（2）設P（m，-m²+2m+8），
作PH⊥x軸，交x軸于點H，
∴CO∥PH，
∴△EOC∽△EHP，
∴

EC

EP

=

CO

PH

，
∵PC=3CE，
∴

EC

EP

=

CO

PH

=

1

4

，
∴PH=4OC，
∴-m²+2m+8=4×2，
解得 m=2，或m=0（舍去），
∴P（2，8）；

（3）作PK⊥y軸，
∴PK=2，KC=8-2=6，
在Rt△CPK中，CP=2

10

，
由翻折得△CQG≌△CQP，
∴QG=QP，CG=CP=2

10

，
在Rt△OCG中，
∵CP=2

10

，OC=2，
∴GO=6，
∴G（6，0）或G（-6，0），
過P作PH⊥x軸，則H（2，0），且PH=8，
設Q（n，0）
則QP²=PH²+QH²=8²+（n-2）²，
GQ=|x_Q-x_G|=|n-（±6）|
因為QG=QP，
8²+（n-2）²=[n-（±6）]²，
解得n=-4，或n=2，
∴Q（-4，0）或Q（2，0）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．