Question

某合作學(xué)習(xí)小組對(duì)問(wèn)題“一條定直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)與直線(xiàn)外同側(cè)兩定點(diǎn)所連線(xiàn)段的夾角的最大值”進(jìn)行了探索．
（1）如圖1，點(diǎn)A、B是定直線(xiàn)CD外同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)，E是CD上一點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)A、B、E的⊙O恰好與直線(xiàn)CD相切，點(diǎn)P是直線(xiàn)CD上不與點(diǎn)E重合的任意一點(diǎn)，連接AE、BE、AP、BP，求證：∠AEB＞∠APB；
（2）由（1）可得：若直線(xiàn)上存在某個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)和兩定點(diǎn)的圓恰好與這條直線(xiàn)相切，則這個(gè)點(diǎn)與兩定點(diǎn)所連線(xiàn)段所構(gòu)成的角最大．請(qǐng)利用這個(gè)結(jié)論解決以下問(wèn)題：
①如圖2，直線(xiàn)l與AB平行，且平行線(xiàn)間的距離為

3

，AB=2，P是直線(xiàn)l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求∠APB的最大值；
②如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，0），B（5，0），直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（-1，2），點(diǎn)P是直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)，若∠APB的最大值為45°，求直線(xiàn)l的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）設(shè)AP與⊙O交于點(diǎn)F，連接BF，根據(jù)圓周角定理可知∠AEB=∠AFB，再由三角形外角的性質(zhì)可得∠AFB＞∠APB，由此可得出結(jié)論；
（2）經(jīng)過(guò)A、B作⊙O，⊙O與l相切于點(diǎn)P，連接PA，PB，此時(shí)∠APB的值最大，連接PO并延長(zhǎng)PO交AB于點(diǎn)C，由切線(xiàn)的性質(zhì)可知OP⊥l，根據(jù)l∥AB可得PC=

3

，AC=

1

2

AB=l，AP=AB，同理可得PA=AB，故△PAB是等邊三角形，由此可得出結(jié)論；
（3）過(guò)點(diǎn)A，B作⊙D，使⊙D與直線(xiàn)l相切于點(diǎn)P，連接PA，PB，此時(shí)∠APB的值最大，即∠APB=45°，連接DA，DB，DP，則∠ADB=2∠APB=90°，故可得出△DAB是等腰直角三角形．根據(jù)A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)可求出⊙D的半徑，由此可得出CD的長(zhǎng)，所以CD∥x軸．根據(jù)⊙D與直線(xiàn)l相切可知∠DPC=90°．再根據(jù)PC兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出直線(xiàn)l的解析式．

解答：解：（1）如圖1，設(shè)AP與⊙O交于點(diǎn)F，連接BF，
∵∠AEB=∠AFB，∠AFB＞∠APB，
∴∠AEB＞∠APB．

（2）如圖2，經(jīng)過(guò)A、B作⊙O，⊙O與l相切于點(diǎn)P，連接PA，PB，此時(shí)∠APB的值最大．
連接PO并延長(zhǎng)PO交AB于點(diǎn)C，
∵⊙O與l相切，
∴OP⊥l，
∵l∥AB，
∴PC=

3

，AC=

1

2

AB=l，
∴AP=AB=2，
同理，PA=AB，
∴△PAB是等邊三角形，
∴∠APB的最大值是60°．

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)A，B作⊙D，使⊙D與直線(xiàn)l相切于點(diǎn)P，連接PA，PB，此時(shí)∠APB的值最大，即∠APB=45°．
連接DA，DB，DP，則∠ADB=2∠APB=90°，
∴△DAB是等腰直角三角形．
∵A（1，0），B（5，0），C（3，2），
∴⊙D的半徑為2

2

．
∵C（-1，2），D（3，2），
∴CD=4，CD∥x軸．
∵⊙D與直線(xiàn)l相切，
∴∠DPC=90°．
在Rt△PAB中，
∵CD=4，DP=2

2

，
∴∠PCD=45°，
∴PC=PD．
∵∠CPA=∠DPA=45°，
∴PA⊥CD，
∴PA⊥x軸，
∴P、D、B三點(diǎn)共線(xiàn)，
∴P（1，4）．
∵C（-1，2），
∴直線(xiàn)l的解析式為y=x+3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的綜合題，涉及到切線(xiàn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定等知識(shí)，難度較大．