Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與一直線相交于A（-1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交與點(diǎn)N其頂點(diǎn)為D．
（1求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求直線AC的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)M（3，m），求使MN+MD的值最小時(shí)m的值；
（4）若拋物線對(duì)稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B，直接寫出拋物線左右平移多少個(gè)單位時(shí)過點(diǎn)B；上下平移多少個(gè)單位時(shí)過點(diǎn)B．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出b、c的值，即可得到拋物線解析式，再整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答即可；
（3）求出點(diǎn)D關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)D′，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，連接D′N與直線x=3的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M，然后利用待定系數(shù)法求出直線D′N的解析式，再令x=3求解即可得到m的值；
（4）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），然后令y=0解方程得到x的值，即可得到左右平移的單位，根據(jù)點(diǎn)B、D的縱坐標(biāo)可得向下平移的單位數(shù)．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c與一直線相交于A（-1，0），C（2，3），
∴

-1-b+c=0 -4+2b+c=3

，
解得

b=2 c=3

，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

-k+b=0 2k+b=3

，
解得

k=1 b=1

，
∴直線AC的解析式為y=x+1；

（3）∵點(diǎn)D（1，4），點(diǎn)（3，m）在直線x=3上，
∴點(diǎn)D關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)D′坐標(biāo)為（5，4），
令x=0，則y=3，
所以，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，3），
設(shè)直線D′N的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

5k+b=4 b=3

，
解得

k= 1 5 b=3

，
所以，y=

1

5

x+3，
當(dāng)x=3時(shí)，y=

1

5

×3+3=

18

5

，
所以，m=

18

5

；

（4）拋物線y=-（x-1）²+4的對(duì)稱軸為直線x=1，
當(dāng)x=1時(shí)，y=x+1=1+1=2，
所以，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），
當(dāng)y=2時(shí)，-x²+2x+3=2，
整理得，x²-2x-1=0，
解得x=1±

2

，
∵1+

2

-1=

2

，1-（1-

2

）=

2

，
∴拋物線向左或向右平移

2

個(gè)單位，經(jīng)過點(diǎn)B，
∵點(diǎn)D（1，4），點(diǎn)B（1，2），4-2=2，
∴拋物線向下平移2個(gè)單位，經(jīng)過點(diǎn)B．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，軸對(duì)稱確定最短路線問題，二次函數(shù)圖象與幾何變換，難點(diǎn)在于（3）掌握點(diǎn)M的位置的確定方法．