Question

分別以△ABC的邊AC、BC為邊，向△ABC外作正方形ACD₁E₁和正方形BCD₂E₂，連接D₁D₂．
（1）如圖1，過點C作MH⊥AB于點H，交D₁D₂于點G．若CM=AB，連接MD₁，MD₂，試證明四邊形D₁CD₂M是平行四邊形．
（2）如圖2，CF為AB邊中線，試探究CF與線段D₁D₂的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定,正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）過點D₁作D₁N⊥CM于N，根據(jù)同角的余角相等求出∠BAC=∠MCD₁，根據(jù)正方形的四條邊都相等可得AC=CD₁，然后利用“角角邊”證明△ACH和△CD₁N全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AH=CN，CH=D₁N，然后求出BH=MN，再利用“邊角邊”證明△BCH和△MD₁N全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得D₁M=BC，∠D₁MN=∠CBH，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC=CD₂，再求出∠CBH=∠MCD₂，從而得到∠D₁MN=∠MCD₂，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得D₁M∥CD₂，然后根一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；
（2）延長CF至G，使FG=CF，然后利用“邊角邊”證明△ACF和△BGF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AC=BG，全等三角形對應(yīng)邊相等可得∠G=∠ACF，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得AC∥BG，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可得∠CBG+∠ACB=180°，根據(jù)周角等于360°求出∠D₁CD₂+∠ACB=180°，從而得到∠D₁CD₂=∠CBG，然后利用“邊角邊”證明△CBG和△D₂CD₁全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得D₁D₂=CG，從而得到D₁D₂=2CF．

解答：（1）證明：如圖，過點D₁作D₁N⊥CM于N，
∵MH⊥AB，
∴∠BAC+∠ACH=90°，
∵∠ACD₁=90°，
∴∠MCD₁+∠ACH=90°，
∴∠BAC=∠MCD₁，
∵四邊形ACD₁E₁是正方形，
∴AC=CD₁，
在△ACH和△CD₁N中，

∠BAC=∠MCD1 ∠AHC=∠CND1=90° AC=CD1

，
∴△ACH≌△CD₁N（AAS），
∴AH=CN，CH=D₁N，
∵CM=AB，
∴BH=MN，
在△BCH和△MD₁N中，

CH=D1N ∠MND1=∠CHB=90° BH=MN

，
∴△BCH≌△MD₁N（SAS），
∴D₁M=BC，∠D₁MN=∠CBH，
∵四邊形BCD₂E₂是正方形，
∴BC=CD₂，∠BCD₂=90°，
∴D₁M=CD₂，∠CBH=∠MCD₂，
∴∠D₁MN=∠MCD₂，
∴D₁M∥CD₂，
∴四邊形D₁CD₂M是平行四邊形；

（2）D₁D₂=2CF．
證明如下：如圖，延長CF至G，使FG=CF，
∵CF是AB邊的中線，
∴AF=BF，
在△ACF和△BGF中，

AF=BF ∠AFC=∠BFG CF=FG

，
∴△ACF≌△BGF（SAS），
∴AC=BG，∠G=∠ACF，
∴AC∥BG，
∴∠CBG+∠ACB=180°，
∵∠D₁CD₂+∠ACB=360°-2×90°=180°，
∴∠D₁CD₂=∠CBG，
在△CBG和△D₂CD₁中，

CD1=BG ∠D1CD2=∠CBG BC=CD2

，
∴△CBG≌△D₂CD₁（SAS），
∴D₁D₂=CG，
∴D₁D₂=2CF．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，正方形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，（1）難點在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形并二次證明三角形全等，（2）“遇中線，加倍延”作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．