Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-4a經(jīng)過A（-1，0）、C（0，4）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，連結(jié)CD、BD，把△BCD沿BC折疊，
①求點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)Dˊ的坐標(biāo)；
②在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△DDˊP是以DDˊ為一直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把A（-1，0）、C（0，4）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+bx-4a，根據(jù)待定系數(shù)法可得這個拋物線的解析式；
（2）①如圖①，將點(diǎn)D（m，m+1）代入y=-x²+3x+4中，得到D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)等腰直角三角形的判定可得△OBC是等腰直角三角形，根據(jù)折疊的性質(zhì)進(jìn)一步得到點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)Dˊ的坐標(biāo)；
②存在滿足條件的點(diǎn)P．如圖②，過D′作D′E∥BC交x軸于E，交拋物線于P，根據(jù)待定系數(shù)法可得直線D′E的解析式，聯(lián)立方程組可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；過D作DF∥BC交y軸于F，交拋物線于P，根據(jù)待定系數(shù)法可得直線D′E的解析式，聯(lián)立方程組可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）把A（-1，0）、C（0，4）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+bx-4a，得

a-b+4a=0 -4a=4

，
解得

a=-1 b=3

．
所以這個拋物線的解析式為y=-x²+3x+4．

（2）①如圖①，將點(diǎn)D（m，m+1）代入y=-x²+3x+4中，得：-m²+3m+4=m+1，
化簡得：m²-2m-3=0
解得：m₁=-1（舍去），m₂=3；
∴D（3，4），
∴CD∥x軸，
∴∠DCO=90°，
由B（4，0）、C（0，4）可得：OB=4，
即△OBC是等腰直角三角形，得：∠OCB=∠DCB=45°；
把△BCD沿BC折疊，點(diǎn)D的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D′落在y軸上，
且CD=CD′=3，OD′=OC-CD′=1，
則點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（0，1）．        

②存在滿足條件的點(diǎn)P．             
如圖②，過D′作D′E∥BC交x軸于E，交拋物線于P．
∵DD′⊥BC
∴∠DD'P=90°，△OD'E為等腰直角三角形
則E（1，0）
設(shè)直線D′E的解析式為y=k₁x+b₁，依題意得

k1+b1=0 b1=1

，
解得

k2=-1 b2=1

∴直線D′E的解析式為y=-x+1．
由

y=-x+1 y=-x2+3x+4

得

x1=2- 7 y1=-1+ 7

，

x2=2+ 7 y2=-1- 7

，
過D作DF∥BC交y軸于F，交拋物線于P．
∵DD′⊥BC
∴∠D′DP=90°，△CDF為等腰直角三角形
則F（0，7）
設(shè)直線DF的解析式為y=k₂x+b₂，依題意得

3k2+b2=4 b2=7

，
解得

k2=-1 b2=7

．
∴直線DF的解析式為y=-x+7．
由

y=-x+7 y=-x2+3x+4

得

x3=1 y3=6

，

x4=3 y4=4

（不符合題意舍去）．
故在拋物線上存在點(diǎn)P，使得△DD′P是以DD′為一直角邊的直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2-

7

，-1+

7

)或(2+

7

，-1-

7

)或（1，6）．

點(diǎn)評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點(diǎn)有：待定系數(shù)法求拋物線的解析式，等腰直角三角形的判定，折疊的性質(zhì)，待定系數(shù)法求直線的解析式，方程思想，分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．