【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點A(﹣3,0),B(1,0),與y軸相交于(0,﹣),頂點為P.
(1)求拋物線解析式;
(2)在拋物線是否存在點E,使△ABP的面積等于△ABE的面積?若存在,求出符合條件的點E的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)坐標平面內(nèi)是否存在點F,使得以A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形?直接寫出所有符合條件的點F的坐標,并求出平行四邊形的面積.
【答案】(1)y=x2+x﹣(2)存在,(﹣1﹣2,2)或(﹣1+2,2)(3)點F的坐標為(﹣1,2)、(3,﹣2)、(﹣5,﹣2),且平行四邊形的面積為 8
【解析】
(1)設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c,把(﹣3,0),(1,0),(0,)代入求出a、b、c的值即可;(2)根據(jù)拋物線解析式可知頂點P的坐標,由兩個三角形的底相同可得要使兩個三角形面積相等則高相等,根據(jù)P點坐標可知E點縱坐標,代入解析式求出x的值即可;(3)分別討論AB為邊、AB為對角線兩種情況求出F點坐標并求出面積即可;
(1)設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c,將(﹣3,0),(1,0),(0,)代入拋物線解析式得,
解得:a=,b=1,c=﹣
∴拋物線解析式:y=x2+x﹣
(2)存在.
∵y=x2+x﹣=(x+1)2﹣2
∴P點坐標為(﹣1,﹣2)
∵△ABP的面積等于△ABE的面積,
∴點E到AB的距離等于2,
設(shè)E(a,2),
∴a2+a﹣=2
解得a1=﹣1﹣2,a2=﹣1+2
∴符合條件的點E的坐標為(﹣1﹣2,2)或(﹣1+2,2)
(3)∵點A(﹣3,0),點B(1,0),
∴AB=4
若AB為邊,且以A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形
∴AB∥PF,AB=PF=4
∵點P坐標(﹣1,﹣2)
∴點F坐標為(3,﹣2),(﹣5,﹣2)
∴平行四邊形的面積=4×2=8
若AB為對角線,以A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形
∴AB與PF互相平分
設(shè)點F(x,y)且點A(﹣3,0),點B(1,0),點P(﹣1,﹣2)
∴ ,
∴x=﹣1,y=2
∴點F(﹣1,2)
∴平行四邊形的面積=×4×4=8
綜上所述:點F的坐標為(﹣1,2)、(3,﹣2)、(﹣5,﹣2),且平行四邊形的面積為8.
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【題目】小明大學(xué)畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè),第一期培植盆景與花卉各50盆售后統(tǒng)計,盆景的平均每盆利潤是160元,花卉的平均每盆利潤是19元,調(diào)研發(fā)現(xiàn):
①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利潤減少2元;每減少1盆,盆景的平均每盆利潤增加2元;②花卉的平均每盆利潤始終不變.
小明計劃第二期培植盆景與花卉共100盆,設(shè)培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景與花卉售完后的利潤分別為W1,W2(單位:元)
(1)用含x的代數(shù)式分別表示W1,W2;
(2)當x取何值時,第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤W最大,最大總利潤是多少?
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【題目】在以點O為原點的平面直角坐標系中,邊長為1的正方形OABC的兩頂點A,C分別在y軸,軸的正半軸上,現(xiàn)將正方形OABC繞點О順時針旋轉(zhuǎn),當點A第一次落在直線上時,停止轉(zhuǎn)動,旋轉(zhuǎn)過程中,AB邊交直線于點M,BC邊交軸于點N.
(1)旋轉(zhuǎn)停止時正方形旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是_________.
(2)在旋轉(zhuǎn)過程中,當MN和AC平行時,
①與是否全等?此時正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是多少?
②直接寫出的周長的值,并判斷這個值在正方形OABC的旋轉(zhuǎn)過程中是否發(fā)生變化.
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【題目】某工廠生產(chǎn)部門為了解本部門工人的生產(chǎn)能力情況,進行了抽樣調(diào)查.該部門隨機抽取了30名工人某天每人加工零件的個數(shù),數(shù)據(jù)如下:
20 | 21 | 19 | 16 | 27 | 18 | 31 | 29 | 21 | 22 |
25 | 20 | 19 | 22 | 35 | 33 | 19 | 17 | 18 | 29 |
18 | 35 | 22 | 15 | 18 | 18 | 31 | 31 | 19 | 22 |
整理上面數(shù)據(jù),得到條形統(tǒng)計圖:
樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下表所示:
統(tǒng)計量 | 平均數(shù) | 眾數(shù) | 中位數(shù) |
數(shù)值 | 23 | m | 21 |
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)上表中眾數(shù)m的值為 ;
(2)為調(diào)動工人的積極性,該部門根據(jù)工人每天加工零件的個數(shù)制定了獎勵標準,凡達到或超過這個標準的工人將獲得獎勵.如果想讓一半左右的工人能獲獎,應(yīng)根據(jù) 來確定獎勵標準比較合適.(填“平均數(shù)”、“眾數(shù)”或“中位數(shù)”)
(3)該部門規(guī)定:每天加工零件的個數(shù)達到或超過25個的工人為生產(chǎn)能手.若該部門有300名工人,試估計該部門生產(chǎn)能手的人數(shù).
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【題目】如圖,Rt△ABC 有一外接圓,其中∠B=90°,AB>BC,今欲在上找一點 P, 使得,下是甲、乙兩人的作法:
甲:①取 AB 的中點 D:②過點 D 作直線 AC 的平行線,交于點 P,則點 P 即為所求,
乙:①取 AC 的中點 E;②過點 E 作直線AB 的平行線,交于點 P,則點 P 即為所求,
對于甲、乙兩人的作法,下列判斷正確的是( )
A. 兩人皆正確 B. 兩人皆錯誤 C. 甲正確,乙錯誤 D. 甲錯誤,乙正確
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【題目】如圖,點E是正方形ABCD對角線AC上一點,EF⊥AB,EG⊥BC,垂足分別為E,F,若正方形ABCD的周長是40 cm.
(1)求證:四邊形BFEG是矩形;
(2)求四邊形EFBG的周長;
(3)當AF的長為多少時,四邊形BFEG是正方形?
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【題目】如圖所示,兩個含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直線l滑動,下列說法錯誤的是( )
A. 四邊形ACDF是平行四邊形 B. 當點E為BC中點時,四邊形ACDF是矩形
C. 當點B與點E重合時,四邊形ACDF是菱形 D. 四邊形ACDF不可能是正方形
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【題目】如圖,在中,點是邊上一個動點,過點作直線,設(shè)交的平分線于點,交的外角的平分線于點.
(1)探究與的數(shù)量關(guān)系并加以證明.
(2)連接,當點在邊上運動時,四邊形可能為菱形嗎?若可能,請證明;若不可能,請說明理由.
(3)連接,當點在上運動到什么位置時,四邊形是矩形?請說明理由.
(4)在(3)的條件下,滿足什么條件時,四邊形是正方形?請說明理由.
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【題目】某單位要印刷“市民文明出行,遵守交通安全”的宣傳材料.甲印刷廠提出:每份材料收1元印刷費,另收150元的制版費;乙印刷廠提出:每份材料收2.5元印刷費,不收制版費.設(shè)在同一家印刷廠一次印制數(shù)量為份(為正整數(shù)).
(1)根據(jù)題意,填寫下表:
一次印制數(shù)量(份) | 5 | 10 | 20 | … | |
甲印刷廠收費(元) | 155 | … | |||
乙印刷廠收費(元) | 12.5 | … |
(2)在印刷品數(shù)量大于800份的情況下選哪家印刷廠印制省錢?
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