Question

【題目】如圖，在中，點是邊上一個動點，過點作直線，設交的平分線于點，交的外角的平分線于點．

（1）探究與的數(shù)量關系并加以證明.

（2）連接，當點在邊上運動時，四邊形可能為菱形嗎？若可能，請證明；若不可能，請說明理由．

（3）連接，當點在上運動到什么位置時，四邊形是矩形？請說明理由．

（4）在（3）的條件下，滿足什么條件時，四邊形是正方形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），證明見解析；（2）四邊形不可能為菱形，理由見解析；（3）當點運動到的中點時，四邊形是矩形，理由見解析；（4）當點運動到的中點時，且是以為直角的直角三角形時，四邊形是正方形，理由見解析．

【解析】

（1）根據(jù)可得，再根據(jù)平分，平分記得得出答案；

（2）根據(jù)平分，平分可得∠ECF的度數(shù)，再根據(jù)菱形的性質即可得出結論；

（3）先證四邊形是平行四邊形，繼而可證其是矩形；

（4）結合（3），再根據(jù)，和即可得出結論.

解：（1）．

證明：∵，

∴．

又∵平分，平分，

∴，

∴，

∴．

∴．

（2）四邊形不可能為菱形．

理由：設交于點．

∵平分，平分，

∴．

若四邊形是菱形，則，在中，不可能存在兩個角為90°，

∴四邊形BCFE不可能為菱形．

（3）當點運動到的中點時，四邊形是矩形.理由：

∵當點運動到的中點時，．

又∵，

∴四邊形是平行四邊形．

∵，

∴，

∴，

即，四邊形是矩形.

（4）當點運動到的中點時，且是以為直角的直角三角形時，

四邊形是正方形理由：

由（3）知，當點運動到的中點時，四邊形是矩形，

已知，當時，

，

∴，

∴四邊形是正方形．