【題目】在以點O為原點的平面直角坐標系中,邊長為1的正方形OABC的兩頂點A,C分別在y軸,軸的正半軸上,現(xiàn)將正方形OABC繞點О順時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點A第一次落在直線上時,停止轉(zhuǎn)動,旋轉(zhuǎn)過程中,AB邊交直線于點M,BC邊交軸于點N.
(1)旋轉(zhuǎn)停止時正方形旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是_________.
(2)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)MN和AC平行時,
①與是否全等?此時正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是多少?
②直接寫出的周長的值,并判斷這個值在正方形OABC的旋轉(zhuǎn)過程中是否發(fā)生變化.
【答案】(1)45°;(2)①全等;22.5°;②的周長為,在正方形OABC的旋轉(zhuǎn)過程中,的周長不發(fā)生變化.
【解析】
(1)根據(jù)直線y=x圖象上點的特點,得出線y=x與y軸的夾角是45°,即可得出求得邊OA旋轉(zhuǎn)的角度;
(2)①利用SAS得出全等,根據(jù)正方形一個內(nèi)角的度數(shù)求出∠AOM的度數(shù),即可得出答案;
②利用全等把△MBN的各邊整理到成與正方形的邊長有關(guān)的式子即可.
(1)∵A點第一次落在直線上時停止旋轉(zhuǎn),直線與y軸的夾角是,
∴旋轉(zhuǎn)了45°;
(2)①∵,
∴,,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∵在和中,
,
∴,
∴
,
∴旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)MN和AC平行時,正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為.
②的周長的值為2,且在正方形OABC的旋轉(zhuǎn)過程中不發(fā)生變化.
理由如下:如圖所示,延長BA交y軸于點E,
則,
∵,
∴,
又∵,,
在和中,
∴,
∴,.
在和中,
,
∴,
∴.
∴,
∴的周長為.
∴在正方形OABC的旋轉(zhuǎn)過程中,的周長不發(fā)生變化.
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【題目】如圖,點P是AOB內(nèi)任意一點,OP=10cm,點P與點關(guān)于射線OA對稱,點P與點關(guān)于射線OB對稱,連接交OA于點C,交OB于點D,當(dāng)△PCD的周長是10cm時,∠AOB的度數(shù)是______度。
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【題目】在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,及時對知識進行歸納和整理是改善學(xué)習(xí)的重要方法.善于學(xué)習(xí)的小明在學(xué)習(xí)了一次方程(組)、一元一次不等式和一次函數(shù)后,對照圖形,把相關(guān)知識歸納整理如下:
一次函數(shù)與方程(組)的關(guān)系:
一次函數(shù)與不等式的關(guān)系:
(1)請你根據(jù)以上方框中的內(nèi)容在下面的數(shù)字序號后寫出相應(yīng)的結(jié)論:
①______________________; ②______________________,
③______________________; ④______________________.
(2)如果點C的坐標為,那么不等式的解集是___________.
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【題目】如圖,一艘輪船航行到B處時,測得小島A在船的北偏東60°的方向上,輪船從B處繼續(xù)向正東方向航行100海里到達C處時,測得小島A在船的北偏東30°的方向上,AD⊥BC于點D,求AD的長.
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【題目】為落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念,某市政部門招標一工程隊負責(zé)在山腳下修建一座水庫的土方施工任務(wù).該工程隊有兩種型號的挖掘機,已知3臺型和5臺型挖掘機同時施工一小時挖土165立方米;4臺型和7臺型挖掘機同時施工一小時挖土225立方米.每臺型挖掘機一小時的施工費用為300元,每臺型挖掘機一小時的施工費用為180元.
(1)分別求每臺型, 型挖掘機一小時挖土多少立方米?
(2)若不同數(shù)量的型和型挖掘機共12臺同時施工4小時,至少完成1080立方米的挖土量,且總費用不超過12960元.問施工時有哪幾種調(diào)配方案,并指出哪種調(diào)配方案的施工費用最低,最低費用是多少元?
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【題目】八(1)班五位同學(xué)參加學(xué)校舉辦的數(shù)學(xué)競賽,試卷中共有20道題,規(guī)定每題答對得5分,答錯扣2分,未答得0分。賽后A,B, C,D,E五位同學(xué)對照評分標準回憶并記錄了自己的答題情況(E同學(xué)只記得有7道題未答),具體如下表:
參賽同學(xué) | 答對題數(shù) | 答錯題數(shù) | 未答題數(shù) |
A | 19 | 0 | 1 |
B | 17 | 2 | 1 |
C | 15 | 2 | 3 |
D | 17 | 1 | 2 |
E | / | / | 7 |
(1)根據(jù)以上信息,求A,B,C,D四位同學(xué)成績的平均分;
(2)最后獲知:A,B,C,D,E五位同學(xué)成績分別是95分,81分,64分,83分,58分.
①求E同學(xué)的答對題數(shù)和答錯題數(shù);
②經(jīng)計算,A,B,C,D四位同學(xué)實際成績平均分是80.75分,與(1)中算得的平均分不相符,發(fā)現(xiàn)是其中一位同學(xué)記錯了自己的答題情況.請指出哪位同學(xué)記錯了,并寫出他的實際答題情況(直接寫出答案即可).
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【題目】如圖,在城市改造中,市政府欲在一條人工河上架一座橋,河的兩岸PQ與MN平行,河岸MN上有A、B兩個相距50米的涼亭,小亮在河對岸D處測得∠ADP=60°,然后沿河岸走了110米到達C處,測得∠BCP=30°,求這條河的寬.(結(jié)果保留根號)
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點A(﹣3,0),B(1,0),與y軸相交于(0,﹣),頂點為P.
(1)求拋物線解析式;
(2)在拋物線是否存在點E,使△ABP的面積等于△ABE的面積?若存在,求出符合條件的點E的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)坐標平面內(nèi)是否存在點F,使得以A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形?直接寫出所有符合條件的點F的坐標,并求出平行四邊形的面積.
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【題目】一個零件的形狀如圖1所示,按規(guī)定這個零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角.工人師傅量得這個零件各邊尺寸如圖2所示.
圖1 圖2
(1)你認為這個零件符合要求嗎?為什么?
(2)求這個零件的面積.
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