Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點(diǎn)A（-2，4）在拋物線(xiàn)y=ax²上，直角頂點(diǎn)B在x軸上．將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OCD，邊CD與該拋物線(xiàn)交于點(diǎn)P．則DP的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專(zhuān)題：

分析：先把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²求出a=1，得到拋物線(xiàn)的解析式為y=x²，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OD=OB=2，∠ODC=∠OBA=90°，所以D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），CD⊥y軸，即P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，然后把y=2代入拋物線(xiàn)解析式計(jì)算出對(duì)應(yīng)的自變量的值，于是確定P點(diǎn)坐標(biāo)，利用P點(diǎn)坐標(biāo)易得PD的長(zhǎng)．

解答：解：把A（-2，4）代入y=ax²得4a=4，解得a=1，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x²，
∵Rt△OAB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，4），AB⊥x軸，
∴AB=4，OB=2，
∵Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OCD，
∴OD=OB=2，∠ODC=∠OBA=90°，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），CD⊥y軸，
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，
把y=2代入y=x²得x²=2，解得x=±

2

（負(fù)值舍去），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（

2

，2），
∴PD=

2

．
故答案為：

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．