問題解決:
如圖(1),將正方形紙片ABCD折疊,使點B落在CD邊上一點E(不與點C,D重合),壓平后得到折痕MN.當
CE
CD
=
1
2
時,求
AM
BN
的值.
類比歸納:
在圖(1)中,若
CE
CD
=
1
3
,則
AM
BN
的值等于______;若
CE
CD
=
1
4
,則
AM
BN
的值等于______;若
CE
CD
=
1
n
(n為整數(shù)),則
AM
BN
的值等于______.(用含n的式子表示)
聯(lián)系拓廣:
如圖(2),將矩形紙片ABCD折疊,使點B落在CD邊上一點E(不與點C,D重合),壓平后得到折痕MN,設
AB
BC
=
1
m
(m>1),
CE
CD
=
1
n
,則
AM
BN
的值等于______.(用含m,n的式子表示)
(1)方法一:如圖(1-1),連接BM,EM,BE.
由題設,得四邊形ABNM和四邊形FENM關于直線MN對稱.
∴MN垂直平分BE,
∴BM=EM,BN=EN.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠A=∠D=∠C=90°,設AB=BC=CD=DA=2.
CE
CD
=
1
2

∴CE=DE=1.
設BN=x,則NE=x,NC=2-x.
在Rt△CNE中,NE2=CN2+CE2
∴x2=(2-x)2+12,
解得x=
5
4
,即BN=
5
4

在Rt△ABM和在Rt△DEM中,AM2+AB2=BM2,DM2+DE2=EM2,
∴AM2+AB2=DM2+DE2
設AM=y,則DM=2-y,
∴y2+22=(2-y)2+12,
解得y=
1
4
,即AM=
1
4
(6分)
AM
BN
=
1
5

方法二:同方法一,BN=
5
4

如圖(1-2),過點N做NGCD,交AD于點G,連接BE.
∵ADBC,
∴四邊形GDCN是平行四邊形.
∴NG=CD=BC.
同理,四邊形ABNG也是平行四邊形.
∴AG=BN=
5
4

∵MN⊥BE,∴∠EBC+∠BNM=90度.
∵NG⊥BC,∴∠MNG+∠BNM=90°,
∴∠EBC=∠MNG.
在△BCE與△NGM中
∠EBC=∠MNG
BC=NG
∠C=∠NGM=90°

∴△BCE≌△NGM,EC=MG.
∵AM=AG-MG,AM=
5
4
-1=
1
4

AM
BN
=
1
5


(2)如圖1,當四邊形ABCD為正方形時,連接BE,
CE
CD
=
1
n

不妨令CD=CB=n,則CE=1,設BN=x,則EN=x,EN2=NC2+CE2,x2=(n-x)2+12,x=
n2+1
2n
;
作MH⊥BC于H,則MH=BC,
又點B,E關于MN對稱,則MN⊥BE,∠EBC+∠BNM=90°;而∠NMH+∠BNM=90°,故∠EBC=∠NMH,則△EBC≌△NMH,
∴NH=EC=1,AM=BH=BN-NH=
n2+1
2n
-1=
n2-2n+1
2n

則:
AM
BN
=
n2-2n+1
2n
n2+1
2n
=
n2-2n+1
n2+1

故當
CE
CD
=
1
3
,則
AM
BN
的值等于
2
5
;若
CE
CD
=
1
4
,則
AM
BN
的值等于
9
17
;

(3)若四邊形ABCD為矩形,連接BE,
CE
CD
=
1
n
,不妨令CD=n,則CE=1;
AB
BC
=
1
m
=
n
mn
,則BC=mn,同樣的方法可求得:
BN=
m2n2+1
2mn
,
BE⊥MN,易證得:△MHN△BCE.故
MH
BC
=
HN
CE
,
n
mn
=
HN
1
,
HN=
1
m
,故AM=BH=BN-HN=
m2n2-2n+1
2mn
,
AM
BN
=
m2n2-2n+1
2mn
m2n2+1
2mn
=
m2n2-2n+1
m2n2+1


故答案為:
1
5
9
17
;
(n-1)2
n2+1
;
n2m2-2n+1
n2m2+1

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