【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知矩形ABCD的三個頂點B(1,0),C(3,0),D(3,4).以A為頂點的拋物線y=ax2+bx+c過點C.動點P從點A出發(fā),沿線段AB向點B運動.同時動點Q從點C出發(fā),沿線段CD向點D運動.點P,Q的運動速度均為每秒1個單位.運動時間為t秒.過點P作PE⊥AB交AC于點E.
(1)直接寫出點A的坐標,并求出拋物線的解析式;
(2)過點E作EF⊥AD于F,交拋物線于點G,當t為何值時,△ACG的面積最大?最大值為多少?
(3)在動點P,Q運動的過程中,當t為何值時,在矩形ABCD內(nèi)(包括邊界)存在點H,使以C,Q,E,H為頂點的四邊形為菱形?請直接寫出t的值.
【答案】(1)A(1,4);y=﹣x2+2x+3;(2)當t=2時,S△ACG的最大值為1;(3)t=20﹣8 或t= .
【解析】試題分析:(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可以寫出點A得到坐標;由頂點A的坐標可設該拋物線的頂點式方程為y=a(x-1)2+4,然后將點C的坐標代入,即可求得系數(shù)a的值(利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式);(2)利用待定系數(shù)法求得直線AC的方程y=-2x+6;由圖形與坐標變換可以求得點P的坐標(1,4-t),據(jù)此可以求得點E的縱坐標,將其代入直線AC方程可以求得點E或點G的橫坐標;然后結(jié)合拋物線方程、圖形與坐標變換可以求得GE=4-、點A到GE的距離為,C到GE的距離為2-;最后根據(jù)三角形的面積公式可以求得S△ACG=S△AEG+S△CEG=-(t-2)2+1,由二次函數(shù)的最值可以解得t=2時,S△ACG的最大值為1;(3)因為菱形是鄰邊相等的平行四邊形,所以點H在直線EF上.
試題解析:
(1)A(1,4).
由題意知,可設拋物線解析式為y=a(x1)2+4,
∵拋物線過點C(3,0),
∴0=a(31)2+4,
解得,a=1,
∴拋物線的解析式為y=(x1)2+4,即y=x2+2x+3.
(2)∵A(1,4),C(3,0),
∴可求直線AC的解析式為y=2x+6.
∵點P(1,4t).
∴將y=4t代入y=2x+6中,解得點E的橫坐標為x=1+.
∴點G的橫坐標為1+,代入拋物線的解析式中,可求點G的縱坐標為4.
∴GE=(4)(4t)=t.
又∵點A到GE的距離為,C到GE的距離為2,
即S△ACG=S△AEG+S△CEG=EG+EG(2)
=2(t)= (t2)2+1.
當t=2時,S△ACG的最大值為1.
(3)第一種情況如圖1所示,點H在AC的上方,由四邊形CQEH是菱形知CQ=CE=t,
根據(jù)△APE∽△ABC,知
,即,解得t=20;
第二種情況如圖2所示,
點H在AC的下方,由四邊形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t,PE=t,EM=2t,MQ=42t.
則在直角三角形EMQ中,根據(jù)勾股定理知EM2+MQ2=EQ2,即(2t)2+(42t)2=t2,
解得,t1=,t2=4(不合題意,舍去).
綜上所述,t=20或t=.
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【題目】已知:如圖,△ABC中,,BD平分∠ABC,BC上有動點P.
(1)DP⊥BC時(如圖1),求證:;
(2)DP平分∠BDC時(如圖2),BD、CD、CP三者有何數(shù)量關系?
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【題目】材料1:一般地,個相同因數(shù)相乘:記為.如,此時,3叫做以2為底的8的對數(shù),記為(即)
(1)計算__________,__________.
材料2:新規(guī)定一種運算法則:自然數(shù)1到的連乘積用表示,例如:,,,,…在這種規(guī)定下
(2)求出滿足該等式的:
(3)當為何值時,
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【題目】D、E分別是不等邊三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的邊AB、AC的中點.O是△ABC所在平面上的動點,連接OB、OC,點G、F分別是OB、OC的中點,順次連接點D、G、F、E.
(1)如圖,當點O在△ABC的內(nèi)部時,求證:四邊形DGFE是平行四邊形;
(2)若四邊形DGFE是菱形,則OA與BC應滿足怎樣的數(shù)量關系?(直接寫出答案,不需要說明理由.)
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【題目】已知在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線交線段AC于D,若△ABC和△DBC的周長分別是60 cm和38 cm,則△ABC的腰長和底邊BC的長分別是( )
A. 22cm和16cmB. 16cm和22cm
C. 20cm和16cmD. 24cm和12cm
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,E為AD邊上的一點,過C點作CF⊥CE交AB的延長線于點F.
(1)求證:△CDE∽△CBF;
(2)若B為AF的中點,CB=3,DE=1,求CD的長.
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【題目】如圖,方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形,在建立平面直角坐標系后,△ABC的頂點均在格點上,點B的坐標為(1,0)
(1)在圖l中畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1;
(2)在圖2中,以點O為位似中心,將△ABC放大,使放大后的△A2B2C2與△ABC的對應邊的比為2:1(畫出一種即可). 直接寫出點A的對應點A2的坐標.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+4ax+4a-4(a≠0)的頂點為A.
(1)求頂點A的坐標;
(2)過點(0,5)且平行于x軸的直線l,與拋物線y=ax2+4ax+4a-4(a≠0)交于B、C兩點.
①當a=1時,求線段BC的長;
②當線段BC的長不小于8時,直接寫出a的取值范圍.
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【題目】“龜免賽跑”的故事同學們都非常熱悉,圖中的線段OD和折線OABC表示“龜兔賽跑時路程與時間的關系,請你根據(jù)圖中給出的信息,解決下列問題.
(1)填空:折線OABC表示賽跑過程中_______(填“兔子”或“烏龜”)的路程與時間的關系,賽跑的全過程是___________米.
(2)兔子在起初每分鐘跑多少米?烏龜每分鐘爬多少米?
(3)烏龜用了多少分鐘追上了正在睡覺的兔子?
(4)兔子醒來假,以400米/分的速度跑向終點,結(jié)果還是比烏龜晚到了0.5分鐘,請你算算兔子中間停下睡覺用了多少分鐘.
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