【題目】定義:三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱(chēng)為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角.

1)如圖1,∠E是△ABC中∠A的遙望角,若∠Aα,請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示∠E

2)如圖2,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,,四邊形ABCD的外角平分線DF⊙O于點(diǎn)F,連結(jié)BF并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證:∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角.

3)如圖3,在(2)的條件下,連結(jié)AE,AF,若AC⊙O的直徑.

求∠AED的度數(shù);

AB8CD5,求△DEF的面積.

【答案】1)∠Eα;(2)見(jiàn)解析;(3AED45°;

【解析】

1)由角平分線的定義可得出結(jié)論;

2)由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠FDC+FBC=180°,得出∠FDE=FBC,證得∠ABF=FBC,證出∠ACD=DCT,則CE是△ABC的外角平分線,可得出結(jié)論;

3)①連接CF,由條件得出∠BFC=BAC,則∠BFC=2BEC,得出∠BEC=FAD,證明△FDE≌△FDAAAS),由全等三角形的性質(zhì)得出DE=DA,則∠AED=DAE,得出∠ADC=90°,則可求出答案;

②過(guò)點(diǎn)AAGBE于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)FFMCE于點(diǎn)M,證得△EGA∽△ADC,得出,求出,設(shè)AD=4x,AC=5x,則有(4x2+52=5x2,解得x=,求出ED,CE的長(zhǎng),求出DM,由等腰直角三角形的性質(zhì)求出FM,根據(jù)三角形的面積公式可得出答案.

解:(1)∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,

∴∠E=∠ECD﹣∠EBD(∠ACD﹣∠ABC)=α,

2)如圖1,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)T,

∵四邊形FBCD內(nèi)接于⊙O,

∴∠FDC+FBC180°,

又∵∠FDE+FDC180°,

∴∠FDE=∠FBC

DF平分∠ADE,

∴∠ADF=∠FDE,

∵∠ADF=∠ABF,

∴∠ABF=∠FBC

BE是∠ABC的平分線,

,

∴∠ACD=∠BFD

∵∠BFD+BCD180°,∠DCT+BCD180°,

∴∠DCT=∠BFD,

∴∠ACD=∠DCT,

CE是△ABC的外角平分線,

∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角.

3如圖2,連接CF

∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角,

∴∠BAC2BEC,

∵∠BFC=∠BAC,

∴∠BFC2BEC

∵∠BFC=∠BEC+FCE,

∴∠BEC=∠FCE,

∵∠FCE=∠FAD

∴∠BEC=∠FAD,

又∵∠FDE=∠FDAFDFD,

∴△FDE≌△FDAAAS),

DEDA,

∴∠AED=∠DAE

AC⊙O的直徑,

∴∠ADC90°,

∴∠AED+DAE90°,

∴∠AED=∠DAE45°,

如圖3,過(guò)點(diǎn)AAGBE于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)FFMCE于點(diǎn)M,

AC⊙O的直徑,

∴∠ABC90°,

BE平分∠ABC,

∴∠FAC=∠EBCABC45°,

∵∠AED45°,

∴∠AED=∠FAC

∵∠FED=∠FAD,

∴∠AED﹣∠FED=∠FAC﹣∠FAD,

∴∠AEG=∠CAD,

∵∠EGA=∠ADC90°,

∴△EGA∽△ADC,

∵在RtABG中,AG,

RtADE中,AEAD,

,

RtADC中,AD2+DC2AC2,

∴設(shè)AD4xAC5x,則有(4x2+52=(5x2,

x,

EDAD

CECD+DE,

∵∠BEC=∠FCE

FCFE,

FMCE,

EMCE,

DMDEEM,

∵∠FDM45°,

FMDM,

SDEFDEFM

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】我們定義:連結(jié)凸四邊形一組對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做四邊形的準(zhǔn)中位線

1)概念理解:

如圖1,四邊形中,的中點(diǎn),邊上一點(diǎn),滿足,試判斷是否為四邊形的準(zhǔn)中位線,并說(shuō)明理由.

2)問(wèn)題探究:

如圖2中,,,動(dòng)點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度,從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)以每秒6個(gè)單位的速度,從點(diǎn)出發(fā)沿射線運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).為線段上任意一點(diǎn),連接并延長(zhǎng),射線與點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的兩邊分別相交于點(diǎn),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為.問(wèn)為何值時(shí),為點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的準(zhǔn)中位線.

3)應(yīng)用拓展:

如圖3,為四邊形的準(zhǔn)中位線,,延長(zhǎng)分別與,的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),請(qǐng)找出圖中與相等的角并證明.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖1,2,ABC是等邊三角形,D、E分別是AB、BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)AB、C不重合),始終保持BD=CE.

(1)當(dāng)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)到如圖1所示的位置時(shí),求證:CD=AE.

(2)把圖1中的ACE繞著A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°ABF的位置(如圖2),分別連結(jié)DF、EF.

①找出圖中所有的等邊三角形(ABC除外),并對(duì)其中一個(gè)給予證明;

②試判斷四邊形CDFE的形狀,并說(shuō)明理由.

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【題目】如圖,某反比例函數(shù)圖象的一支經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2,3)和點(diǎn)B(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)),作BCy軸,垂足為點(diǎn)C,連結(jié)AB,AC

1)求該反比例函數(shù)的解析式;

2)若ABC的面積為6,求直線AB的表達(dá)式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】1是一種三角車(chē)位鎖,其主體部分是由兩條長(zhǎng)度相等的鋼條組成.當(dāng)位于頂端的小掛鎖打開(kāi)時(shí),鋼條可放入底盒中(底盒固定在地面下),此時(shí)汽車(chē)可以進(jìn)入車(chē)位;當(dāng)車(chē)位鎖上鎖后,鋼條按圖1的方式立在地面上,以阻止底盤(pán)高度低于車(chē)位鎖高度的汽車(chē)進(jìn)入車(chē)位.圖2是其示意圖,經(jīng)測(cè)量,鋼條ABAC50cm∠ABC47°.

1)求車(chē)位鎖的底盒長(zhǎng)BC

2)若一輛汽車(chē)的底盤(pán)高度為30cm,當(dāng)車(chē)位鎖上鎖時(shí),問(wèn)這輛汽車(chē)能否進(jìn)入該車(chē)位?(參考數(shù)據(jù):sin47°≈0.73,cos47°≈0.68,tan47°≈1.07

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知等腰△ABC的頂角∠A=36°(如圖).

(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作底角∠ABC的平分線BD,交AC于點(diǎn)D(保留作圖痕跡,不要求寫(xiě)作法);

(2)證明:△ABC∽△BDC.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x+3x軸的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A,與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸lx軸交于點(diǎn),與線段AB交于點(diǎn)E,點(diǎn)D是對(duì)稱(chēng)軸l上一動(dòng)點(diǎn).

1)點(diǎn)A的坐標(biāo)是   ,點(diǎn)B的坐標(biāo)是   ;

2)是否存在點(diǎn)D,使得△BDE和△ACE相似?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

3)如圖2,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l向右平移與線段AB交于點(diǎn)F,與拋物線交于點(diǎn)G,當(dāng)四邊形DEFG是平行四邊形且周長(zhǎng)最大時(shí),求出點(diǎn)G的橫坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,二次函數(shù)(其中)的圖像與軸交于、兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn)

(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為  ,  

(2)的外心,且的面積之比為,求的值;

(3)(2)的條件下,試探究拋物線上是否存在點(diǎn),使得,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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