Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，點(diǎn)P是⊙C外一點(diǎn)，連接CP交⊙C于點(diǎn)Q，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)Q的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′，當(dāng)點(diǎn)P′在線段CQ上時(shí)，稱(chēng)點(diǎn)P為⊙C“友好點(diǎn)”．已知A（1，0），B（0，2），C（3，3）

（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，

①點(diǎn)A，B，C中是⊙O“友好點(diǎn)”的是　 　；

②已知點(diǎn)M在直線y＝﹣x+2 上，且點(diǎn)M是⊙O“友好點(diǎn)”，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)m的取值范圍；

（2）已知點(diǎn)D，連接BC，BD，CD，⊙T的圓心為T（t，﹣1），半徑為1，若在△BCD上存在一點(diǎn)N，使點(diǎn)N是⊙T“友好點(diǎn)”，求圓心T的橫坐標(biāo)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①B；②0≤m≤；（2）﹣4+3≤t＜3

【解析】

（1））①根據(jù)“友好點(diǎn)”的定義，OB＝2r＝2，所以點(diǎn)B是⊙O“友好點(diǎn)”；

②設(shè)M（m，﹣m+2 ），根據(jù)“友好點(diǎn)”的定義，OM＝，解得0≤m≤；

（2）B（0，2），C（3，3），D，⊙T的圓心為T(mén)（t，﹣1），點(diǎn)N是⊙T“友好點(diǎn)”，NT≤2r＝2，所以點(diǎn)N只能在線段BD上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)T作TN⊥BD于N，作TH∥y軸，與BD交于點(diǎn)H．易知∠BDO＝30°，∠OBD＝60°，NT＝HT，直線BD：y＝﹣x+2，H（t，﹣t+2 上），HT＝﹣t+2﹣（﹣1）＝﹣t+3，NT＝HT＝（﹣t+3）＝﹣t+，解出t的范圍．

解：（1）①∵r＝1

∴根據(jù)“友好點(diǎn)”的定義，OB＝2r＝2

∴點(diǎn)B是⊙O“友好點(diǎn)”

OC＝3 >2r，不是⊙O“友好點(diǎn)”

A（1，0）在⊙O上，不是⊙O“友好點(diǎn)”

故答案為B；

②如圖，

設(shè)M（m，﹣m+2 ），根據(jù)“友好點(diǎn)”的定義

∴OM＝

整理，得2m2﹣2m≤0

解得0≤m≤；

∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)m的取值范圍：0≤m≤；

（2）∵B（0,2）,C（3,3）,D,⊙T的圓心為T（t,﹣1）,點(diǎn)N是⊙T“友好點(diǎn)”

∴NT≤2r＝2，

∴點(diǎn)N只能在線段BD上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)T作TN⊥BD于N，作TH∥y軸，與BD交于點(diǎn)H．

易知∠BDO＝30°，

∴∠OBD＝60°，

∴NT＝HT，

∵B（0，2），D，

∴直線BD：y＝﹣x+2，H（t，﹣t+2 上），

∴HT＝﹣t+2﹣（﹣1）＝﹣t+3，

∴NT＝HT＝（﹣t+3）＝﹣t+，

∴﹣t+≤2，

∴t≥﹣4+，

當(dāng)H與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)T的橫坐標(biāo)等于點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，即t＝，

此時(shí)點(diǎn)N不是“友好點(diǎn)”，

∴t＜，

故圓心T的橫坐標(biāo)t的取值范圍：﹣4+≤t＜．