Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（1，0），（﹣4，0），拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段FE的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△PEF是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A，C的坐標(biāo)分別為（1，0），（﹣4，0），

∴AC=5．

∵△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，

∴BC=AC=5．

∴B（﹣4，﹣5）．

將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得： ，解得： ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3．

（2）解：如圖1所示：

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得： ，解得：k=1，b=﹣1．

所以直線AB的解析式為y=x﹣1．

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，t﹣1），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，﹣t2﹣2t+3）．

∴EF=﹣t2﹣2t+3﹣（t﹣1）=﹣t2﹣3t+4=（t+ ）2+ ．

∴當(dāng)t=﹣ 時(shí)，F(xiàn)E取最大值 ，此時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣ ，﹣ ）．

（3）解：存在點(diǎn)P，能使△PEF是以EF為直角邊的直角三角形．

理由：如圖所示：過(guò)點(diǎn)F作直線a⊥EF，交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)E作直線b⊥EF，交拋物線P′、P″．

由（2）可知點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，t﹣1），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，﹣t2﹣2t+3），t=﹣ ，

∴點(diǎn)E（﹣ ，﹣ ）、F（﹣ ， ）．

①當(dāng)﹣t2﹣2t+3= 時(shí)，解得：x=﹣ 或x=﹣ （舍去）．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣ ， ）．

②當(dāng)﹣t2﹣2t+3=﹣ 時(shí)，解得：x=﹣1+ 或x=﹣1﹣ ．

∴點(diǎn)P′（﹣1﹣ ，﹣ ），P″（﹣1+ ，﹣ ）．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣ ， ）或（﹣1﹣ ，﹣ ）或P″（﹣1+ ，﹣ ）．

【解析】（1）要求解析式關(guān)鍵在于求B點(diǎn)坐標(biāo)，由△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，BC=AC=5．可求出B（﹣4，﹣5），把A、B坐標(biāo)代入解析式即可；（2）求最值問(wèn)題可化歸為函數(shù)最值問(wèn)題，因此須構(gòu)建以E點(diǎn)橫坐標(biāo)t為自變量、EF長(zhǎng)度為因變量的函數(shù)，用t的代數(shù)式表示EF，EF是豎直線段，其長(zhǎng)度可用上端點(diǎn)縱坐標(biāo)減下端點(diǎn)縱坐標(biāo)，構(gòu)建函數(shù)后，若是二次函數(shù)可用配方法求出最值；（3）以EF為直角邊的直角三角形可分為兩類：以E為直角頂點(diǎn)；以F為直角頂點(diǎn)；因此須過(guò)E、F分別作EF的垂線 與拋物線的交點(diǎn)就是P點(diǎn).