【題目】如圖,四邊形ABCD中,AC,BD是對角線,△ABC是等邊三角形.線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE,連接AE

1)求證:AEBD;

2)若∠ADC30°,AD3BD4.求CD的長.

【答案】1)見解析;(2

【解析】

(1)根據(jù)AC=BC、∠DCE+ACD=ACB+ACD、CE=CD證△ACE≌△BCD即可;

(2)連接DE,可得△DCE是等邊三角形,即∠CDE=60°、DC=DE,繼而在RtADE中,由勾股定理可得DE的長,即可求得CD

(1)∵△ABC是等邊三角形,

AC=BC,∠ACB=60°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:

CE=CD,∠DCE=60°,

∴∠DCE+ACD=∠ACB+ACD,

即∠ACE=∠BCD

在△ACE和△BCD中,

∴△ACE≌△BCD(SAS)

AE=BD;

(2)連接DE

CD=CE,∠DCE=60°,

∴△DCE是等邊三角形.

∴∠CDE=60°,DC=DE

∵∠ADC=30°,

∴∠ADC+CDE=90°.

AD=3,BD=4,

AE=BD=4

RtADE中,由勾股定理,

可得

DC=DE=

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