Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y1＝x2+bx+c與y2＝x2+cx+b（b＜c）的圖象相交于點(diǎn)A，分別與y軸相交于點(diǎn)C，B，連接AB、AC．

（1）過(guò)點(diǎn)（1，0）作直線l平行于y軸，判斷點(diǎn)A與直線l的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（2）當(dāng)A、C兩點(diǎn)是二次函數(shù)y1＝x2+bx+c圖象上的對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，求b的值．

（3）當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）直線l過(guò)點(diǎn)A；（2）b＝﹣1；（3）B（0，﹣）．

【解析】

（1）聯(lián)立、并解得：，故點(diǎn)，又因?yàn)?/span>l：，故可判定點(diǎn)在直線l上；

（2）先寫(xiě)出、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)?/span>、C兩點(diǎn)是二次函數(shù)圖象上的對(duì)稱點(diǎn)，故點(diǎn)A、C的縱坐標(biāo)相同，可以據(jù)此列出方程，求解即可；

（3）先根據(jù)解析式寫(xiě)出 A、B、C的坐標(biāo)，過(guò)等邊三角形的點(diǎn)A作AH⊥BC，得到AH=1，根據(jù)三線合一得到H是BC中點(diǎn)，將H的坐標(biāo)、BH的長(zhǎng)度用b、c表示，可以運(yùn)用三角函數(shù)表示BH與OA的關(guān)系，同時(shí)A、H的縱坐標(biāo)相同，就建立了關(guān)于b、c的兩個(gè)方程，解出來(lái)代入B點(diǎn)坐標(biāo)即可.

解：（1）聯(lián)立y1、y2并解得：x＝1，y＝1+b+c，

∴點(diǎn)A（1，1+b+c），

∴直線l：過(guò)點(diǎn)A；

（2）由題意得：點(diǎn)B（0，b）、C（0，c），

∵A、C兩點(diǎn)是二次函數(shù)y1＝x2+bx+c圖象上的對(duì)稱點(diǎn)，故點(diǎn)A、C的縱坐標(biāo)相同，

即：1+b+c＝c，

解得：b＝﹣1；

（3）如下圖所示，過(guò)等邊三角形的點(diǎn)A(1,1+b+c)作AH⊥BC，

∴H是B（0，b）、C（0，c）中點(diǎn)，則點(diǎn)，且，

∴，,

又∵,，
∴，

又∵，
解得：，
故點(diǎn)