Question

如圖，已知?ABCD中，DE⊥BC于點E，DH⊥AB于點H，AF平分∠BAD，分別交DC、DE、DH于點F、G、M，且DE=AD．
（1）求證：△ADG≌△FDM．
（2）猜想AB與DG+CE之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）由?ABCD中，DE⊥BC于點E，DH⊥AB于點H，AF平分∠BAD，可證得DA=DF，然后由ASA證得：△ADG≌△FDM．
（2）延長GD至點N，使DN=CE，連結(jié)AN先證明△ADN≌△DEC，再證AN=NG=CD=AB

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAF=∠DFA，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AD=FD，
∵DE⊥BC，DH⊥AB，
∴∠ADG=∠FDM=90°，
在△ADG和△FDM中，

∠DAG=∠DFM AD=FD ∠ADG=∠FDM

，
∴△ADG≌△FDM（ASA）．

（2）AB=DG+EC．
證明：延長GD至點N，使DN=CE，連接AN，
∵DE⊥BC，AD∥BC，
∴∠ADN=∠DEC=90°，
在△ADN和△DEC中，

AD=DE ∠ADN=∠DEC DN=EC

，
∴△ADN≌△DEC（SAS），
∴AN=CD=DG+DN=DG+EC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，
∴AB=DG+EC．

點評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．