Question

如圖所示，在△ABC中，AB=AC，延長AB到D，延長CA到E，使AD=CE=BC．若恰好有DE=BC，求∠BAC的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：過點(diǎn)D作DF平行于BC，且DF=BC，連接FC，EF，由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到BCFD為平行四邊形，可得出對(duì)邊BD=CF，且AD平行于FC，對(duì)角∠ADF=∠FCB，由BC與DF平行，得到同位角∠ABC=∠ADF，等量代換可得出∠ABC=∠FCB，同時(shí)由AD與CF平行，根據(jù)兩直線平行同位角相等可得出∠EAD=∠ECF，又AD=CE，AB=AC，兩等式左右兩邊相減可得出AE=BD，等量代換得出AE=CF，再由AD=CF，利用SAS得出三角形ADE與三角形CEF全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出DE=EF，又DE=BC，而BC=DF，等量代換可得出DE=DF=EF，即三角形DEF為等邊三角形，可得出內(nèi)角為60°，設(shè)∠BAC=α，由AB=AC，利用內(nèi)角和定理表示出底角∠ABC的度數(shù)，即為∠ADF的度數(shù)，再由AD=BC=DF=DE，根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠DAE=∠DEA，由鄰補(bǔ)角定義表示出∠DAE，即表示出∠DEA，在三角形AED中，利用內(nèi)角和定理表示出∠ADE，由∠ADE+∠ADF=60°列出關(guān)于α的方程，求出方程的解得到α的值，即為∠BAC的度數(shù)．

解答：
解：過點(diǎn)D作DF∥BC且BC=DF，連接CF，EF，
則四邊形BCFD為平行四邊形，
∴BD=CF，AD∥CF，∠ADF=∠FCB，
∴∠ABC=∠ADF=∠FCB，∠EAD=∠ECF，
又AD=CE，AB=AC，
∴AD-AB=CE-AC，即AE=BD，
∴AE=CF，
在△ADE和△CEF中，

AE=CF ∠EAD=∠ AD=CE

FCE，
∴△ADE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF，又DE=BC，且BC=DF，
∴DE=DF=EF，
∴△DEF為等邊三角形，
∴∠EDF=60°，
又AD=BC=DF=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
設(shè)∠BAC=α，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ADF=∠ABC=

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（180°-α），∠DAE=180°-α，
∴∠ADE=180°-∠DAE-∠DEA=180°-2∠DAE=180°-2（180°-α）=2α-180°，
又∠ADE+∠ADF=60°，即

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2

（180°-α）+2α-180°=60°，
解得：α=100°，
則∠BAC=100°

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的內(nèi)角和定理，利用了轉(zhuǎn)化及等量代換的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的題．其中作出相應(yīng)的輔助線構(gòu)造平行四邊形及全等三角形是解本題的關(guān)鍵．