Question

正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，將正方形ABCD折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，折痕PQ與AC、AD分別相交于點(diǎn)P，Q．求cos∠CPE的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),勾股定理,翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：過E作EF⊥AC于F，設(shè)AC=2a，AP=PE=x，則AC=2

2

a，CE=a，PC=2

2

a-x，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得EF=CF=

2

2

CE=

2

2

a，從而求得PF=

3 2

2

a-x，然后根據(jù)勾股定理即可求得PE的值，進(jìn)而求得PF的值，通過解直角三角形即可求得cos∠CPE的值．

解答：解：過E作EF⊥AC于F，
設(shè)AC=2a，AP=PE=x，則AC=2

2

a，CE=a，PC=2

2

a-x，
∵∠ACD=45°，
∴EF=CF=

2

2

CE=

2

2

a，
∴PF=2

2

a-x-

2

2

a=

3 2

2

a-x，
∵PE²=PF²+EF²，
∴x²=（

3 2

2

a-x）²+（

2

2

a）²，解得：x=

5 2

6

a，
∴PE=

5 2

6

a，PF=

3 2

2

a-

5 2

6

a=

2 2

3

a，
∴cos∠CPE=

PF

PE

=

2 2 3 a

5 2 6 a

=

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解直角三角形等，過E作EF⊥AC于F構(gòu)建直角三角形是本題的關(guān)鍵．