Question

如果一個點能與另外兩個點能構成直角三角形，則稱這個點為另外兩個點的勾股點．例如：矩形ABCD中，點C與A，B兩點可構成直角三角形ABC，則稱點C為A，B兩點的勾股點．同樣，點D也是A，B兩點的勾股點．

（1）如圖1，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，請在邊CD上作出A，B兩點的勾股點（點C和點D除外）（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，直接寫出邊CD上A，B兩點的勾股點的個數．
（3）如圖2，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=4cm，DM=8cm，AN=5cm．動點P從D點出發(fā)沿著DC方向以1cm/s的速度向右移動，過點P的直線l平行于BC，當點P運動到點M時停止運動．設運動時間為t（s），點H為M，N兩點的勾股點，且點H在直線l上．
①當t=4時，求PH的長．
②探究滿足條件的點H的個數（直接寫出點H的個數及相應t的取值范圍，不必證明）．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點，就是A，B兩點在CD上的勾股點；
（2）以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點有兩個，加上C、D兩點，總共四個點；
（3）①當t=4時，先求出PM，QN的值，再分三種情況：當∠MHN=90°時，當∠H″NM=90°時，當∠H′MN=90°時，分別求出PH的長．
（4）首先確定t的范圍，在不同的范圍內結合圖形找出MN的勾股點，特別要結合圓找勾股點．

解答：解：（1）如圖1，以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點P，點P就是A，B兩點的勾股點；

（2）如圖2，∵矩形ABCD中，AB=3，BC=1時，
∴以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點有兩個，加上C、D兩點，總共四個點4個；

（3）①如圖3，當t=4時，PM=8-4=4，QN=5-4=1，

Ⅰ、當∠MHN=90°時，
∵∠MPH=∠HQN=90°，
∴△PMH∽△QHN，
∴PH：QN=PM：HQ，
而PH+HQ=BC=4，
∴PH=2；
Ⅱ、當∠H″NM=90°時，設PH=x，那么H″Q=4-x
依題意得PM²+PH″²=QN²+H″Q²+MN²，
而MN=

42+32

=5，
∴PH=

13

4

，
Ⅲ、當∠H′MN=90°時，QH′²+QN²-（H'P²+PM²）=MN²，
而H′Q=PH′+PQ=PH′+4，
∴PH=3．
∴PH=

13

4

或PH=2或PH=3．
（3）②如圖4，當0≤t＜4時，∠H₁MN=90°，∠H₂NM=90°，有2個勾股點；

如圖5，當t=4時，當∠MHN=90°時，當∠H″NM=90°時，當∠H'MN=90°時，有3個勾股點H，H′，H″；

如圖6，當4＜t＜5時，有4個勾股點；

如圖7，當t=5時，當∠MHN=90°時，當∠H′MN=90°時，有2個勾股點H，H′；
  
如圖8，當5＜t＜8時，有4個勾股點；

如圖9，當t=8時，有2個勾股點．
                                    
綜上所述：
當0≤t＜4時，有2個勾股點；
當t=4時，有3個勾股點；
當4＜t＜5時，有4個勾股點；
當t=5時，有2個勾股點；
當5＜t＜8時，有4個勾股點；
當t=8時，有2個勾股點．

點評：本題主要考查了四邊形的綜合題，解題關鍵是正確理解題目所給材料，結合圓直徑對的角為直角，確定勾股點的個數．