【題目】定義:若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方,則稱該四邊形為勾股四邊形。

1)如圖1,將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60得到△DBE,DCB=30,連接AD,DCCE

①求證:△BCE是等邊三角形;

②求證:四邊形ABCD是勾股四邊形。

2)如圖2已知等邊ABC的邊長等于4平面上存在一點P若使四邊形PABC形成勾股四邊形且PC=2,PA,PC不能同時成為一組勾股邊,直接寫出此時PBC的面積。

【答案】1)見解析;(27.

【解析】

(1) ①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知ABC≌△DBE,從而可得BC=BE,由∠CBE=60°可得BCE為等邊三角形;②由①可得∠BCE=60°,從而可知DCE是直角三角形,再利用勾股定理即可解決問題.

(2)根據(jù)題意可知BCBA應(yīng)組成勾股邊,由此計算出PB的平方的值,過點BPC延長線上的垂線,垂足為D,設(shè)DC=x,在△PBD中根據(jù)勾股定理可計算出x的值,即可求出BD的長度,以PC為底,BD為高即可求出PBC的面積.

(1)①∵△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)了60°到△DBE,

BC=BE,CBE=60°,

∵在△BCE,BC=BE,CBE=60°

∴△BCE是等邊三角形.

②∵△BCE是等邊三角形,

BC=CE,BCE=60°,

∵∠DCB=30°,

∴∠DCE=DCB+BCE=90°,

RtDCE,DC2+CE2=DE2

DE=AC,BC=CE

DC2+BC2=AC2,

∴四邊形ABCD是勾股四邊形.

2)②如圖,

∵由條件已知PCPA,PABA,PCBC無法組成勾股邊

∴若使四邊形PABC形成勾股四邊形

BCBA應(yīng)組成勾股邊

PB2=BC2+BA2=32

如圖過點BPC延長線上的垂線,垂足為D

設(shè)CDx,BD2=16-x2

PB2=(PC+CD)2+BD2

32=(2+x)2+16-x2

解得x=3

BD=7

SPBC=2×7×=7

PBC的面積為7.

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