Question

如圖，四邊形ABCD中，∠ADB=∠DCB=90°，BD平分∠ABC，點E為AB中點．
（1）求證：BD²=BC•BA；
（2）若BD=2

6

，AB=6，
①請直接寫出BC的長；
②求

EF

EC

的值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明△CBD∽△BDA即可得到

BC

BD

=

BD

BA

，可得到結(jié)論；
（2）①利用（1）的結(jié)論，代入可求得BC；②利用角平分線的性質(zhì)可得

EF

FC

=

BE

BC

，且FC=EC-CF，代入可求得其比值．

解答：（1）證明：
∵BD平分∠ABC，C
∴∠CBD=∠DBA，且∠ADB=∠DCB=90°，
∴△CBD∽△BDA，
∴

BC

BD

=

BD

BA

，
∴BD²=BC•BA；
（2）解：
①由（1）可得BD²=BC•BA，且BD=2

6

，AB=6，
∴（2

6

）²=6BC，解得BC=4；
②∵BD平分∠ABC，
∴

EF

FC

=

BE

BC

，
∵E為AB中點，
∴BE=

1

2

AB=3，
∴

EF

FC

=

3

4

，且FC=EC-EF，
∴

EF

EC-EF

=

3

4

=

3

7-3

，
∴

EF

EC

=

3

7

．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．積化比例是解決這類問題的一般思路，在（2）中注意角平分線性質(zhì)定理的應用．