Question

如圖①，正方形OABC的邊長為4，雙曲線y=

k

x

（x＞0）交AB于M，且AM=3BM．
（1）求k的值；
（2）如圖②，P是雙曲線上的點，且OP⊥MC，求P點的坐標；
（3）如圖③，N是BC與雙曲線y=

k

x

（x＞0）的交點．NE⊥OA于E．直線NE上是否存在點F，使得△MAF是腰長為3的等腰三角形？若存在，求出所有可能的點F；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先求得AM的長，則M的坐標即可求得，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式；
（2）首先求得CM的解析式，然后根據(jù)OP⊥MC，即可求得OP的解析式；
（3）AM=3，則AM一定是三角形的腰，然后分A時頂角和D是頂角兩種情況進行討論即可求解．

解答： 解：（1）∵AB=4，AM=3BM．
∴AM=3，
則M的坐標是（4，3）．
把（4，3）代入y=

k

x

得：k=12，
則函數(shù)的解析式是：y=

12

x

；
（2）設CM的解析式是y=kx+b，
則

b=4 4k+b=3

，
解得：

b=4 k=- 1 3

，
則直線CM的解析式時：y=-

1

3

x+4，
則直線OP的解析式是：y=3x．
解方程組

y=3x y= 12 x

，
解得：

x=2 y=6

或

x=-2 y=-6

（舍去）．
則P的坐標是（2，6）；
（3）在y=

12

x

中，令y=4，解得：x=3，則N的坐標是（3，4）．E的坐標是（3，0）．
∵AM=3，
∴AM一定是三角形的腰長．
當A是頂角定點時．
設點F的坐標是（3，m）．
則（4-3）²+m²=3²，
解得：m=±2

2

，
則P的坐標是（3，2

2

）或（3，-2

2

）；
當M是頂點時，設P的坐標是（3，n），
則（4-1）²+（3-n）²=3²，
解得：n=3±2

2

．
則P的坐標是（3，3+2

2

）或（3，3-2

2

）．
總之，P的坐標是：（3，2

2

）或（3，-2

2

）或（3，3+2

2

）或（3，3-2

2

）．

點評：本題是反比例函數(shù)與等腰三角形的性質以及勾股定理的綜合應用，正確對△AMP進行討論是解題的關鍵．