Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，對于某點(diǎn)P（P不是原點(diǎn)），稱以點(diǎn)P為圓心，長為半徑圓為點(diǎn)P的半長圓；對于點(diǎn)Q，若將點(diǎn)P的半長圓繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，能夠使得點(diǎn)Q位于點(diǎn)P的半長圓內(nèi)部或圓上，則稱點(diǎn)Q能被點(diǎn)P半長捕獲（或點(diǎn)P能半長捕獲點(diǎn)Q）．

（1）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)M（2，0），則點(diǎn)M的半長圓的面積為 ；下列各點(diǎn)，能被點(diǎn)M半長捕獲的點(diǎn)有 ；

（2）已知點(diǎn)，

①點(diǎn)N（0，n），當(dāng)t=1時，線段EF上的所有點(diǎn)均可以被點(diǎn)N半長捕獲，求n的取值范圍；

②若對于平面上的任意點(diǎn)（原點(diǎn)除外）都不能半長捕獲線段EF上的所有點(diǎn)，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），B點(diǎn)和C點(diǎn)；（2）①或；②．

【解析】

（1）根據(jù)M點(diǎn)坐標(biāo)，先求出M的半長圓的半徑，由此可求面積，再根據(jù)題述定義，畫出大致圖，由圖可知被點(diǎn)M半長捕獲的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離介于1到3之間，分別計算出各點(diǎn)到圓心的距離，即可得出被點(diǎn)M半長捕獲的點(diǎn)；

（2）①當(dāng)n＞0時，根據(jù)題述定義可得被點(diǎn)N半長捕獲的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離介于到之間，由此可列出不等式組，即可求得n的取值范圍，同理可求得n＜0時，n的取值范圍；

②設(shè)半長圓的半徑為r，則被點(diǎn)N半長捕獲的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離介于r到3r之間，根據(jù)題意，可列出關(guān)于r的不等式組，且該不等式組無解，即可求得t的取值范圍．

解：（1）如下圖，

∵M（2，0）,

∴過M點(diǎn)的半長圓半徑為1，即HM=MF=1,

∴OH=1,OF=3，,

∴被點(diǎn)M半長捕獲的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離介于1到3之間，

又∵,

∴,

所以，能被點(diǎn)M半長捕獲的點(diǎn)有B點(diǎn)和C點(diǎn)．

故答案為：，B點(diǎn)和C點(diǎn)；

（2）①根據(jù)點(diǎn)N（0，n），

若n＞0，則半長圓的半徑為，

此時，被點(diǎn)N半長捕獲的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離介于到之間，

∵且，

∴,

又∵線段EF上的所有點(diǎn)均可以被點(diǎn)N半長捕獲，

∴，解得，

若n＜0，同理可得，

故或；

②∵，

∴，

設(shè)半長圓的半徑為r，

則被點(diǎn)N半長捕獲的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離介于r到3r之間，

若對于平面上的任意點(diǎn)（原點(diǎn)除外）都不能半長捕獲線段EF上的所有點(diǎn)，則

關(guān)于r的不等式組 無解，

即，解得，

又∵，

∴，