【題目】小儒在學習了定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”之后做了如下思考:
(1)他認為該定理有逆定理,即“如果一個三角形某條邊上的中線等于該邊長的一半,那么這個三角形是直角三角形”應該成立,你能幫小儒證明一下嗎?如圖①,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,若AD=BD=CD,求證:∠BAC=90°.
(2)接下來,小儒又遇到一個問題:如圖②,已知矩形ABCD,如果在矩形外存在一點E,使得AE⊥CE,求證:BE⊥DE,請你作出證明,可以直接用到第(1)問的結論.
(3)在第(2)問的條件下,如果△AED恰好是等邊三角形,直接用等式表示出此時矩形的兩條鄰邊AB與BC的數(shù)量關系.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)BC=AB,理由見解析
【解析】
(1)利用等腰三角形的性質和三角形內角和即可得出結論;
(2)先判斷出OEAC,即可得出OEBD,即可得出結論;
(3)先判斷出△ABE是底角是30°的等腰三角形,即可構造直角三角形即可得出結論.
解:(1)∵AD=BD,
∴∠B=∠BAD,
∵AD=CD,
∴∠C=∠CAD,
在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°,
∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=∠B+∠C+∠B+∠C=180°
∴∠B+∠C=90°,
∴∠BAC=90°,
(2)如圖②,連接AC,BD,OE,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴OA=OB=OC=ODACBD,
∵AE⊥CE,
∴∠AEC=90°,
∴OEAC,
∴OEBD,
∴∠BED=90°,
∴BE⊥DE;
(3)如圖3,∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠BAD=90°,
∵△ADE是等邊三角形,
∴AE=AD=BC,∠DAE=∠AED=60°,
由(2)知,∠BED=90°,
∴∠BAE=∠BEA=30°,
過點B作BF⊥AE于F,
∴AE=2AF,在Rt△ABF中,∠BAE=30°,
∴AB=2BF,AF=BF,
∴AE=2BF,
∴AE=AB,
∴BC=AB.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+5(k為常數(shù),且k≠0)的圖象與反比例函數(shù)y=﹣8x-1的函數(shù)交于A(﹣2,b),B兩點.
(1)求一次函數(shù)的表達式;
(2)若將直線AB向下平移m(m>0)個單位長度后與反比例函數(shù)的圖象有且只有一個公共點,求m的值.
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【題目】如圖,拋物線:經(jīng)過原點,與x軸的另一個交點為,將拋物線向右平移個單位得到拋物線,交x軸于A、B兩點點A在點B的左邊,交y軸于點C.
求拋物線的解析式.
如圖,當時,連接AC,過點A做交拋物線于點D,連接CD.
求拋物線的解析式.
直接寫出點D的坐標為______.
若拋物線的對稱軸上存在點P,使為等邊三角形,請直接寫出此時m的值.
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【題目】已知一元二次方程x2+(2m+1)x+m2﹣1=0.
(1)若方程有兩個不相等的實數(shù)根,試求m的取值范圍;
(2)若拋物線y=x2+(2m+1)x+m2﹣1與直線y=x+m沒有交點,試求m的取值范圍;
(3)求證:不論m取何值,拋物線y=x2+(2m+1)x+m2﹣1圖象的頂點都在一條定直線上.
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【題目】一個四邊形被一條對角線分割成兩個三角形,如果分割所得的兩個三角形相似,我們就把這條對角線稱為相似對角線.
(1)如圖,正方形的邊長為4,為的中點,點,分別在邊和上,且,線段與交于點,求證:為四邊形的相似對角線;
(2)在四邊形中,是四邊形的相似對角線,,,,求的長;
(3)如圖,已知四邊形是圓的內接四邊形,,,,點是的中點,點是射線上的動點,若是四邊形的相似對角線,請直接寫出線段的長度(寫出3個即可).
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【題目】某商品的進價為每件30元,售價為每件40元,每周可賣出180件;如果每件商品的售價每上漲1元,則每周就會少賣出5件,但每件售價不能高于50元,設每件商品的售價上漲x元(x為整數(shù)),每周的銷售利潤為y元.
(1)求y與x的函數(shù)關系式,并直接寫出自變量x的取值范圍;
(2)每件商品的售價為多少元時,每周可獲得最大利潤?最大利潤是多少?
(3)每件商品的售價定為多少元時,每周的利潤恰好是2145元?
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,點P從A出發(fā)沿AB以3cm/s的速度向點B移動,一直到達點B為止;同時,點Q從點C出發(fā)沿以2cm/s的速度向點D移動.經(jīng)過多長時間P、Q兩點的距離是10?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線與x軸交于點A、在B左側,與y軸交于點C,經(jīng)過點A的射線AF與y軸正半軸相交于點E,與拋物線的另一個交點為F,,點D是點C關于拋物線對稱軸的對稱點,點P是y軸上一點,且,則點P的坐標是______.
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【題目】如圖,E,F(xiàn)是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點,AE=CF=AC.連接DE,DF并延長,分別交AB,BC于點G,H,連接GH,則的值為( 。
A. B. C. D. 1
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