【題目】一個(gè)四邊形被一條對角線分割成兩個(gè)三角形,如果分割所得的兩個(gè)三角形相似,我們就把這條對角線稱為相似對角線.

1)如圖,正方形的邊長為4,的中點(diǎn),點(diǎn),分別在邊上,且,線段交于點(diǎn),求證:為四邊形的相似對角線;

2)在四邊形中,是四邊形的相似對角線,,,求的長;

3)如圖,已知四邊形是圓的內(nèi)接四邊形,,,,點(diǎn)的中點(diǎn),點(diǎn)是射線上的動點(diǎn),若是四邊形的相似對角線,請直接寫出線段的長度(寫出3個(gè)即可).

【答案】1)詳見解析;(23;(3)詳見解析.

【解析】

1)只要證明EAF∽△FEG即可解決問題;
2)如圖3中,作DEBABA的延長線于E.設(shè)AE=a.在RtBDE中,利用勾股定理構(gòu)建方程求出a,分兩種情形構(gòu)建方程求解即可;
3)①當(dāng)AFE∽△EFC時(shí),連接BC,AC,BD.②當(dāng)AFE∽△FEC時(shí),作CHADAD的延長線于H,作OMADM,連接OA.③當(dāng)AFE∽△CEF時(shí),分別求解即可,注意答案不唯一.

解:(1)如圖1,∵正方形,,中點(diǎn)

,∵,∴

,

,∴四邊形為平行四邊形

,∴,

為四邊形的相似對角線.

2)如圖2,過點(diǎn),垂足為,設(shè)

,∴,∴

,

(負(fù)根已經(jīng)舍棄),

分為兩種情況:

①如圖3,當(dāng)時(shí),

,∴

②如圖4,當(dāng)時(shí),

,∴

綜上,3

3)①如圖5,∵∠FEC=A=90°,∠BEF=BEC+FEC=A+AEF,

,∴,∴

一線三等角.

②如圖,當(dāng)AFE∽△FEC時(shí),作CHADAD的延長線于H,作OMADM,連接OA

∵△AFE∽△FEC,
∴∠AFE=FEC,
ADEC,
∴∠CEB=DAB=90°,
∵∠OMA=AHC=90°,
∴四邊形AEOM,四邊形AECH都是矩形,
OMAD,
AM=MD=3,
AM=OE=3,
OEAB
AE=EB=4,
OA==5,
CE=AH=8,設(shè)AF=x,則FH=8-x,CH=AE=4,
AEF∽△HFC,可得= ,
,
解得x=4,
經(jīng)檢驗(yàn)x=4是分式方程的解,
AF=4

③如圖當(dāng)AFE∽△CEF時(shí)易證四邊形AECF是矩形,AF=EC=8

綜上所述,滿足條件的AF的長為48.(答案不唯一)

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,在以點(diǎn)O為圓心的半圓中,AB為直徑,且AB=4,將該半圓折疊,使點(diǎn)A和點(diǎn)B落在點(diǎn)O處,折痕分別為ECFD,則圖中陰影部分面積為(  )

A. B. C. D.

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1)求證:四邊形AECF是菱形;

2)若,,請直接寫出EF的長為__________.

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【題目】如圖,一段拋物線:y=﹣xx2)(0≤x≤2)記為C1,它與x軸交于點(diǎn)O,A1;將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°C2,交x軸于點(diǎn)A2;將C2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180°C3,交x軸于點(diǎn)A3…如此進(jìn)行下去,則C2019的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_____

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【題目】如圖,拋物線Ly=﹣x2+bx+c經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),與它的對稱軸直線x2交于A點(diǎn).

1)直接寫出拋物線的解析式;

2)⊙Ax軸相切,交y軸于BC點(diǎn),交拋物線L的對稱軸于D點(diǎn),恒過定點(diǎn)的直線ykx2k+8k0)與拋物線L交于MN點(diǎn),AMN的面積等于2,試求:

①弧BC的長;

k的值.

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【題目】小儒在學(xué)習(xí)了定理直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半之后做了如下思考:

1)他認(rèn)為該定理有逆定理,即如果一個(gè)三角形某條邊上的中線等于該邊長的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形應(yīng)該成立,你能幫小儒證明一下嗎?如圖①,在ABC中,ADBC邊上的中線,若ADBDCD,求證:∠BAC90°

2)接下來,小儒又遇到一個(gè)問題:如圖②,已知矩形ABCD,如果在矩形外存在一點(diǎn)E,使得AECE,求證:BEDE,請你作出證明,可以直接用到第(1)問的結(jié)論.

3)在第(2)問的條件下,如果AED恰好是等邊三角形,直接用等式表示出此時(shí)矩形的兩條鄰邊ABBC的數(shù)量關(guān)系.

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【題目】如圖,⊙P的圓心P(m,n)在拋物線y=上.

(1)寫出mn之間的關(guān)系式;

(2)當(dāng)⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切時(shí),求出⊙P的半徑;

(3)若⊙P的半徑是8,且它在x軸上截得的弦MN,滿足0≤MN≤2時(shí),求出m、n的范圍.

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【題目】如圖,一次函數(shù)yax+ba≠0)的圖象與反比例函數(shù)yk≠0)的圖象相交于AB兩點(diǎn)且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)(﹣1,n).

1)分別求兩個(gè)函數(shù)的解析式;

2)求AOB的面積.

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【題目】某校舉行手工制作比賽,賽后整理參賽同學(xué)的成績,并制作成圖表如下:

分?jǐn)?shù)段

頻數(shù)

頻率

60≤x70

30

0.15

70≤x80

m

0.45

80≤x90

60

n

90≤x100

20

0.1

請根據(jù)以上圖表提供的信息,解答下列問題:

1)表中mn所表示的數(shù)分別為:m______,n______,

2)請?jiān)趫D中,補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;

3)比賽成績的中位數(shù)落在哪個(gè)分?jǐn)?shù)段?

4)如果比賽成績80分以上(含80分)可以獲得獎勵,那么獲獎率是多少?

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